Вероятность. Правила сложения и умножения вероятностей

Задачи по теории вероятностей
и комбинаторике про шары

Ожидаемые результаты урока
СОТ 10.2. понимать и применять правила сложения и умножения вероятностей.
* P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
* P(A U B) = P(A) + P(B)
* P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

№ 1. В корзине содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеется 3 белых шара.

№ 1. В корзине содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеется 3 белых шара.
1
Решение. Перенумеруем все шары. Всего шаров 11. Исходом считаем выбор 5 любых шаров.
11
Количество всех исходов равно С115 = 11!/(5!6!) = 11*10*9*8*7/(2*3*4*5) = 462.
Благоприятный исход - выбор 3 белых шаров и двух черных.
3 шара из 5 можно выбрать С53 способами.
А выбрать 2 черных шара из 6 можно С62 способами.
Количество благоприятных исходов равно произведению
С53 * С62 = 5!/(3!*2!) * 6!/(2!*4!) = 5*4*3*2/(3*2*2) * 6*5*4*3*2/(2*4*3*2) = 10 * 15 = 150
Р = 150 / 462 ≈ 0,325

№ 2. Из корзины содержащей, 6 белых шаров, 5 черных и 3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность, что среди вынутых шаров есть хотя бы по одному шару каждого цвета.

№ 2. Из корзины содержащей, 6 белых шаров, 5 черных и 3 красных, достают наугад 4 шара. Найти вероятность, что среди вынутых шаров есть хотя бы по одному шару каждого цвета.
Решение. Задачу можно переформулировать так: найти вероятность того, что вынуты три шара разного цвета (четвертый может быть любым).
Всего шаров 6+5+3=14. Исход - выбор трех шаров из 14.
Всего исходов: С143= 14!/(3!*11!) = 14*13*12/(2*3) = 364
Благоприятный исход - выбраны 3 разных по цвету шара, а четвертый шар - любого цвета из оставшихся 11 шаров.
Количество благоприятных исходов равно С61*С51*С31 =6*5*3=90
Р=90/364 = 0,247

№ 3. В корзине 5 белых и 4 черных шара. Из урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет:
а) два белых шара;
б) два черных шара;
в) один черный и один белый.

№ 3. В корзине 5 белых и 4 черных шара. Из урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет:
а) два белых шара;
б) два черных шара;
в) один черный и один белый.
Решение.
a) Вероятность, что первый шар белый Р=5/9
Осталось 4 белых, всего 8 шаров, вероятность вытащить второй белый = 4/8=1/2
Р=5/9*1/2 = 5/18 =0,28
б) Р=4/9 * 3/8 = 1/6
в) Вероятность, что первый черный, а второй белый Р=4/9 * 5/8 = 5/18
Вероятность, что первый белый, а второй черный Р=5/9 * 4/8 = 5/18
Окончательно, вероятность, что 1 белый и один черный Р=5/18 + 5/18 = 10/18 = 5/9

№ 3. В корзине 2 белых и 8 черных шаров. Из урны извлекают 2 шара.
Какова вероятность того,
а)что эти шары черного цвета?
б)одинаковые?
в) разных цветов?

№ 3. В урне 2 белых и 8 черных шаров. Из урны извлекают 2 шара.
Какова вероятность того,
1)что эти шары черного цвета?
2)одинаковые?
3) разных цветов?
Решение. Всего шаров в первой урне 10.
1) Вероятность извлечь первым черный шар из первой урны равна 8/10, останется 9 шаров, из них 7 черных. Вероятность извлечь черны шар равна 7/9.
Вероятность того, что первый черный и второй черный Р1=8/10*7/9= 28/45 = 0,6222..≈ 0,62
2) Аналогично находим, что оба шара белые.
Р2 = 2/10 * 1/9 = 1/45 ≈ 0,02
Вероятность, что оба шара одного цвета (или оба черные или оба белые) равна
Р = Р1+Р2 = 28/45+1/45 = 29/45 = 0,64
3) Вероятность, что первый белый, а второй черный Р3= 2/10 * 8/9 = 8/45
Вероятность, что первый черный, а второй белый Р4 = 8/10 * 2/9 = 8/45
Р = Р3+Р4 = 16/45 = 0,35

№4. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй – 4 белых, 6 черных и 8 красных шаров, а в третьей – 6 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
1 урна
2 урна
3 урна

№4. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 4 белых, 4 черных и 4 красных шара, во второй – 4 белых, 6 черных и 8 красных шаров, а в третьей – 6 белых и 6 черных шаров. Наудачу выбирается урна и из нее наугад выбирается один шар. Выбранный шар оказался красным. Какова вероятность того, что этот шар вынут из второй урны?
1 урна
2 урна
3 урна
Гипотезы Н1, Н2, Н3 - шар вынут, соответственно, из 1-й, 2-й, третьей урны. Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3
P(A|H1) = 4/12 = 1/3
P(A|H2) = 8/18=4/9
P(A|H3) = 0/12 = 0
P(A) = 1/3*(1/3+4/9+0) = 1/3* 7/9 = 7/27
P(H2|A) = P(H2)*P(A|H2)/P(A) = (1/3 * 4/9) / (7/27) = 4/7

№5. В первой урне находится 6 белых и 4 черных шаров, а во второй - 5 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую переложили один шар, после чего из второй урны извлекли один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?
1 урна
2 урна
Решение.
Н1 - выбран белый шар из 1-й корзины; Н2 - выбран черный шар из 1-й корзины
А - выбран белый шар из 2-й корзины
Р(Н1) = 6/10 = 0,6
Р(Н2)= 4/10 = 0,4
Р(А/Н1) =6/10 = 0,6 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н1}
Р(А/Н2) = 5/10 = 0,5 {вероятность события А при условии, что произошло событие Н2}
Р(А) = Р(Н1)*Р(А/Н1) + Р(Н2)*Р(А/Н2) = 0,6*0,6 + 0,4*0,5 = 0,56
Р(Н1/А) = [ Р(А/Н1) * Р(А) ] / Р(Н1) = (0,6*0,56)/0,6 = 0,56
Ответ: 0,56