Возникновение переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия. Лекция 12

Учебные вопросы
Возникновение переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия.
Принужденный и свободный режимы.
Переходные процессы в цепях первого порядка.

Вопрос № 1
Возникновение переходных процессов. Законы коммутации и начальные условия

Различают два режима работы цепи:
установившийся (стационарный);
переходный (нестационарный).
Установившимся называют такой режим, при котором токи, напряжения и ЭДС в цепи являются постоянными, или периодическими функциями времени.

Переходным режимом называют процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.
Этот процесс возникает при подключении или отключении источников, а также при скачкообразном изменении схемы.

Момент коммутации принимают за начало отсчета времени (t = 0).
Момент времени, предшествующий коммутации, обозначают t = -0 или t = 0- .
Момент времени непосредственно за моментом коммутации обозначают t = +0 или t = 0+ .
t=0-
t=0
t=0+

В цепях, не содержащих энергоемких элементов (L, C), новый установившийся режим наступает непосредственно за моментом коммутации.
Поэтому считают, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

В цепях с энергоемкими элементами (L, C) переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергия
(электрических полей конденсаторов WС = CU2/2
и магнитных полей индуктивных катушек WL = LI2/2)
не может изменяться скачком.

Известны два закона коммутации
Ток в индуктивности скачком измениться не может
(токи перед коммутацией iL(0-) , в момент коммутации iL(0) и после коммутации равны iL(0+),)
:
Напряжение на емкости скачком измениться не может
(напряжения перед коммутацией Uс(0-), в момент коммутации Uс(0) и после коммутации Uс(0+) равны)

Начальные условия в цепи могут быть нулевыми или ненулевыми.
Нулевые начальные условия - если в момент коммутации
iL(0)=0, uС(0)=0
Это соответствует:
индуктивность L равносильна разрыву цепи;
емкость С - короткому замыканию.

Если в момент коммутации по индуктивности L протекал ток iL(0), или на емкости С было напряжение uС(0),
то имеют место ненулевые начальные условия.
Напряжение на индуктивности L и ток через емкость С в момент коммутации могут изменяться скачком!

Нулевые или ненулевые начальные условия в цепи?

Соотношения между токами и напряжениями на R

Соотношения между токами и напряжениями на L

Соотношения между токами и напряжениями на C

Вопрос № 2
Принужденный и свободный режимы

1. По 2-му закону Кирхгофа
Пусть цепь, содержащих R, L и С..
Пример
2. Подставляем соотношения между токами и напряжениями

3. Дифференцируем уравнение и получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами:
4. Решаем это уравнение и находим искомый ток i(t)

Его решение имеет вид
iпр(t) - принужденная составляющая – частное решение уравнения (с ненулевой правой частью).
где iсв(t) - свободная составляющая –
общее решение однородного ДУ
(с нулевой правой частью);

Принужденная составляющая характеризует токи и напряжения в цепи после окончания переходных процессов.
Свободная составляющая
характеризует процесс изменения токов и напряжений.

Вопрос № 3
Переходные процессы в цепях первого порядка

3.1. Короткое замыкание в цепи r, L

3.2. Включение r, L на постоянное напряжения

3.3. Короткое замыкание в цепи r, C

3.4. Включение r, C на постоянное напряжения