Вычисление объемов пространственных тел с помощью интеграла

Немного теории.
Чтобы получить представление об общем методе вычисления объемов различных пространственных фигур, попробуем найти объем лимона. Ни на одно из тел, изучаемых в школе (призма, пирамида, шар, конус и т.д.), лимон не похож. Однако, мы можем поступить как все хозяйки – разрезать лимон на тонкие ломтики, размер которых зависит от расстояния x, причем x[0;H].
H
x
Тогда, по свойству объема, сумма объемов всех ломтиков даст нам объем всего лимона.

Немного теории.
H
x
x
С точки зрения геометрии мы построили сечения пространственной фигуры плоскостями, перпендикулярными оси фигуры; причем, если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
Проще говоря, при бесконечном числе разбиений каждый ломтик «вырождается» в плоское сечение и объем лимона равен бесконечной интегральной сумме площадей таких сечений, зависящих от расстояния x, т.е.
где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
Sсеч.

Немного теории (базовые классы могут пропустить).
H
x
x
Если принять число разбиений бесконечно большим числом (n→), то:
где H – высота тела, а Sсеч. – некоторая функция, зависящая от x, причем x[0;H].
Sсеч.

I. Объем прямоугольного параллелепипеда
с высотой H и площадью основания S.
x
H
x[0;H]
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x

II. Объем прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x

III. Объем n-угольной прямой призмы
с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x

IV. Объем наклонной призмы
с высотой H и площадью основания S.
Площадь сечения, перпендикулярного высоте, не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.
x
H
x[0;H]
0
x

V. Объем треугольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x
x[0;H]
⇒
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных треугольников, т.е.:
0

VI. Объем n-угольной пирамиды
с высотой H и площадью основания S.
H
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных n-угольников, т.е.:
x
x[0;H]
0

VII. Объем усеченной пирамиды.
текст

VIII. Объем цилиндра с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
0
x
Площадь сечения не изменяется в любой точке отрезка от 0 до H и равна площади основания.

IX. Объем конуса с высотой H и площадью основания S.
x
x[0;H]
H
x
Площадь сечения изменяется в зависимости от расстояния x, причем отношение площади основания к площади сечения равно квадрату коэффициента подобия соответственных кругов, т.е.:
0

X. Объем усеченного конуса.
текст

XI. Объем шара с радиусом R.
Найдем объем полушария, как бесконечную интегральную сумму площадей сечения с радиусом r, где:
R
x
Значит, объем всего шара равен:
x
0
r

XII. Объем шарового сегмента.
Вывод объема шарового сегмента с высотой h и радиусом основания r отличается от вывода объема полушария нижним пределом интегрирования. В данном случае он равен R –h :
r
R
h
x
Обратите внимание, что в формуле объема шарового сегмента участвует радиус шара (R), а не радиус основания сегмента (r)!

XIII. Объем шарового слоя.
текст