Вычисление определенных интегралов

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Пусть на отрезке [a; b] определена непрерывная функция f(x).
Требуется определить значение определенного интеграла
которое числено равно площади S фигуры, ограниченной графиком функции f(x) и осью x, на заданном отрезке [a; b]. Для приближенного вычисления площади, разобьем отре -зок [a; b] на n равных элементарных отрезков точками:
x0=a, x1= a +h, x2=x1+h,…,xi=xi–1+h,…, xn =b, – шаг разбиения.
Значение функции f(x) в точках разбиения xi обозначим через yi.

Площадь S можно вычислить как сумму элементарных площадей определенных для соответствующих элементарных отрезков длиной h:
S = s0+s1+s2+… s i +…..+ s n–1
Произвольную площадь s i можно вычислить, как определенный интеграл на отрезке [xi;xi+1] от более простой функции φi(x), которой заменим реальную функцию f(x). В качестве φ(x), используем интерполяционный многочлен степени m.
Вид функции φi(x) будет определять название метода.

Интерполяционные многочлены, используемые для вычисления определенных интегралов.
Если m =0, функция принимается постоянной на отрезке – методы прямоугольников
Если m =1, полином первой степени – метод трапеций
Если m =2, полином второй степени – метод Симпсона (метод парабол)

Методы п р я м о у г о л ь н и к о в
Значение функции φi(x) на отрезке [xi;xi+1] принимается константой
Метод п р я м о у г о л ь н и к о в в п е р е д.
Метод п р я м о у г о л ь н и к о в н а з а д.
Метод п р я м о у г о л ь н и к о в в с р е д н е м.
и значение функции
Тогда значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
Для функции φi(x) = yi+1 (правой границе) значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:
Для функции φi(x) = yi (левой границе отрезка) значения элементарной si и общей S площади можно вычислить как:

Методы прямоугольников.
ВПЕРЕД НАЗАД ПО СРЕДНЕМУ
x=a:h:b-h;
S=h*sum (f (x));
x=a+ h: h: b;
S=h*sum (f (x));
x=a+h/2:h:b;
S=h*sum (f (x));

Функцию φi(x) будем определять как линейную ( m=1) на отрезке [xi;xi+1], т.е. ее график должен проходить через две смежные точки (xi,yi) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по двум точкам (xi,yi) и (xi+1,yi+1):
Метод т р а п е ц и й
тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:
Введем переменную
Тогда x = xi + h·t и dx = h· dt. Значениям x, равным xi, xi+1 соответствуют значения t, равные 0, 1. Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1). Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:

Метод трапеций
x=a :h :b -h;
S=h*sum((f(x)+f(x+h))/2);
x=a :h :b;
S=h* trapz ( f (x));

Метод С и м п с о н а (метод п а р а б о л)
Определим точку xi+½ = xi+½·h в середине элементарного отрезка [xi;xi+1] и значение функции в этой точке yi+½
Функцию φi(x) будем определять как квадратичную на отрезке [xi;xi+1], т.е. её график должен проходить через три смежные точки (xi,yi),(xi+½,yi+½) и (xi+1,yi+1). Функцию φi(x) можно будет представить как интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по трём точкам xi, xi+½ и xi+1:
Тогда значения элементарной si площади можно вычислить как:

Введем переменную
тогда x = xi + h·t и dx = h·dt.
Значение (x-xi) = xi–xi + h·t = h·t. Значение (x-xi+½) = xi – xi+½ + h·t = h(t- ½)
Значениям x, равным xi, xi+½, xi+1 соответствуют значения t, равные 0,½,1
Элементарную площадь si с использование новой переменной определим как:
Значение (x-xi+1) = xi – xi+1+ h·t = h(t-1)

Тогда значения общей S площади можно вычислить как:

Метод Симпсона
x=a +h :h :b -h;
xs=a+h/2:h:b;
S=h/6*(f(a)+f(b)+2*sum(f(x))+4*sum(f(xs)));
S=quad ( f, a, b);

Сравнение методов
Пример. Вычислить значение интеграла всеми рассмотренными методами при n=2
S=