Задача Магницкого.(из Арифметики)

История о награде изобретателя шахматной игры (Индия).
По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, ученого Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую -2 зерна, на третью- 4 и т.д. Возникает необходимость найти S64, где а1 =1, q=2, n=64. Используем формулу Sn=. Получаем 18 446 744 073 709 551615-восемнедцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать. Или 18,5∙1018. Если бы принцу удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный результат, то , пожалуй, лет за пять он смог бы рассчитаться.

Задача Архимеда. (Из трактата «О квадратуре параболы».)
Найти сумму бесконечно убывающей прогрессии 1+1/4+(1/4)2+(1/4)3+…
Задача ставится так: найти сумму членов прогрессии а+в+с+d+…, знаменатель которой равен1/4. Из определения прогрессии со знаменателем q=1/4
имеем В=а/4;с=в/4;d=с/4bт.д. Или а=4в;в=4с;с=4dит.д. Далее в+с+d+…+1/3(в+с+d+…)=(в+в/3)+(с+с/3)+(d+d/3)+…= 4/3в+4/3с+4/3d+…=1/(4в+4с+4d+…)=1/(а+в+с+d+…) . Откуда в+с+d+..=1/3а. Прибавляя к обеим частям равенства первый член прогрессии а, будем иметь а+в+с+d+…=4/3а. Следовательно , 1+1/4+(1/4)2+(1/4)3+…=4/3. Что и нужно было найти.