Микроэкономическое моделирование технологии производства и процессов потребления

Аксиомы рациональности поведения потребителя
Обычно от ординалистской, или порядковой, функции предпочтений экономического субъекта требуют, чтобы она представляла собой отношение полного предпорядка (или т.н. «слабое упорядочение»), т.е. удовлетворяла следующим свойствам рационального выбора.
Первое свойство – это сравнимость любых возможных вариантов организации хозяйственной деятельности, или полнота данного множества: для любых вариантов x1 и x2 верно либо
Второе свойство – это транзитивность отношения упорядоченности: если для любых наборов x1, x2 и x3
и , то

Теорема Дебре в слабой форме
Если множество X качественно сравнимых наборов благ, которое должно быть замкнутым подмножеством пространства действительных чисел, представляет собой отношение полного предпорядка, т.е. удовлетворяет свойствам рациональности, и в добавление к этому данный индикатор потребительских предпочтений обладает свойствами непрерывности и строгой глобальной ненасыщаемости, то ему соответствует количественная, числовая функция полезности, которая при этом будет непрерывной.
Теорема Дебре
Теорема Дебре в сильной форме
Если множество X качественно сравнимых наборов благ, которое должно быть замкнутым подмножеством пространства действительных чисел, представляет собой отношение полного предпорядка и данный ординалистский индикатор потребительских предпочтений является непрерывным, то ему соответствует непрерывная кардиналистская функция полезности.

Отдача от масштаба и делимость производства
Эквивалентность возрастающей отдачи от масштаба и несовершенной делимости производства:
Эквивалентные понятия:

Отдача от масштаба и поведение средних издержек
y=f(x)
x=(xK,xL)
TC(y)=TC(xK,xL)
Факторизация издержек:
Линейная однородность функции издержек от затрат факторов:
Возрастающая отдача от масштаба производства:
Издержки – это возрастающая функция от объема производства:
Средние издержки – убывающая функция объема производства:
Итак, при положительном эффекте масштаба:

Отдача от масштаба и поведение средних издержек (однородная технология)
Функция называется однородной степени γ, если для нее выполняется равенство f(αx1,αx2)=αγf(x1,x2), где α, γ – положительные действительные константы.
При γ>1 следует положительный эффект масштаба и несовершенная делимость производства; γ=1 дает постоянную отдачу от масштаба и пропорциональную делимость; а в случае γ<1 наблюдается отрицательный эффект масштаба и совершенная делимость хозяйственных операций.
Теорема Эйлера об однородных функциях:
Домножим левую и правую части равенства на множитель Лагранжа λ:
Используем условия минимизации издержек: p1x1+p2x2=λγf(x1,x2).
В силу того, что множитель Лагранжа λ в задаче минимизации издержек представляет собой их предельную величину, получаем дифференциальное уравнение:
Его решением является функция издержек

Отдача от масштаба и поведение средних издержек (однородная технология)
Таким образом, функция издержек имеет степенной вид
тогда и только тогда, когда производственная функция является однородной степени γ: f(αx1,αx2)=αγf(x1,x2).
Справедливо и обратное утверждение. Пусть
Функция издержек линейно однородна относительно затрат факторов:
TC(αx1,αx2)=p1αx1+p2αx2=α(p1x1+p2x2)=αTC(x1,x2)
В нашем случае:
Итак:
Следовательно, f(αx1,αx2)=αγf(x1,x2).

Отдача от масштаба и поведение средних издержек (однородная технология)
Функции совокупных издержек производства при различном характере отдачи от масштаба
TC
γ<1
0
Q
γ>1
γ=1
Функции средних и предельных издержек производства при возрастающей (γ>1) и постоянной (γ=1) отдаче от масштаба
AC, MC
MC, γ>1
0
Q
AC=MC, γ=1
AC, γ>1
TC(1)
Функции средних и предельных издержек производства при убывающей отдаче от масштаба
AC, MC
0
Q
AC, MC
0
Q
AC
MC
γ<½
γ=½
AC
MC
½<γ<1
AC, MC
0
Q
AC
MC

Эквивалентные характеристики хозяйственной деятельности

В пространстве
множество
называется графиком
множество
называется надграфиком
множество
называется подграфиком,
или технологическим множеством функции
Выпуклые функции
f(x)
f(x1)= f(x2)=η
(η,x2)
y=f(x)
(f(x), x)
(η,x1)=(λη+(1–λ)η, λx1+(1–λ)x2)
x=λx1+(1–λ)x2
XK
0
Y
x2
x1
(η,x1)
Множество называется изоквантой (кривой безразличия)
Множество называется верхним лебеговским
Множество называется нижним лебеговским
для функции
XL

Выпуклые функции
f(x)
f(x1)= f(x2)=η
(η,x2)
y=f(x)
(f(x), x)
(η,x1)=(λη+(1–λ)η, λx1+(1–λ)x2)
x=λx1+(1–λ)x2 XK
Y
x2
XL
x1
(η,x1)
0
Функция является выпуклой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неотрицателен:
Функция называется выпуклой, если ее надграфик – это выпуклое множество:
Множество X называется выпуклым, если для произвольных векторов x1 и x2 из X любой вектор x, лежащий на соединяющем их отрезке, так же принадлежит этому множеству:

Выпуклые функции
f(x)
f(x1)= f(x2)=η
(η,x2)
y=f(x)
(f(x), x)
(η,x1)=(λη+(1–λ)η, λx1+(1–λ)x2)
x=λx1+(1–λ)x2 XK
0
Y
x2
XL
x1
(η,x1)
Следовательно, функция
является выпуклой тогда и только тогда, когда главные миноры ее матрицы Гессе
- неотрицательные:

Выпуклые функции
f(x)
f(x1)= f(x2)=η
(η,x2)
y=f(x)
(f(x), x)
(η,x1)=(λη+(1–λ)η, λx1+(1–λ)x2)
x=λx1+(1–λ)x2 XK
Y
x2
XL
x1
(η,x1)
0
Функция является строго выпуклой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал положителен:
Функция называется строго выпуклой, если ее надграфик – это выпуклое множество и при этом для любых двух точек , принадлежащих графику функции, никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка не принадлежит графику :

Выпуклые функции
f(x)
f(x1)= f(x2)=η
(η,x2)
y=f(x)
(f(x), x)
(η,x1)=(λη+(1–λ)η, λx1+(1–λ)x2)
x=λx1+(1–λ)x2 XK
0
Y
x2
XL
x1
(η,x1)
Следовательно, функция
является строго выпуклой тогда и только тогда, когда главные миноры ее матрицы Гессе
- положительные:

Y
XL
XK
y=f(x)
0
f(x)=q
A
D
Вогнутая функция с постоянной отдачей от масштаба
Функция называется вогнутой, если ее подграфик (технологическое множество) является выпуклым:
Функция называется вогнутой, если противоположная по знаку функция является выпуклой
Отсутствие
«рога изобилия»:
при
Из вогнутости технологии следует совершенная либо пропорциональная делимость производства, а значит, невозрастающая (убывающая либо постоянная) отдача от масштаба:

Y
XL
XK
y=f(x)
0
f(x)=q
A
D
Вогнутая функция с постоянной отдачей от масштаба
Функция является вогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неположителен:
Функция называется вогнутой, если ее подграфик (технологическое множество) является выпуклым:
Функция называется вогнутой, если противоположная по знаку функция является выпуклой

Y
XL
XK
y=f(x)
0
f(x)=q
A
D
Вогнутая функция с постоянной отдачей от масштаба
Следовательно, функция является вогнутой тогда и только тогда, когда при возрастании порядка главный минор матрицы Гессе
меняет значение с неположительного на неотрицательное:

XL
C
f(x)=q
Y
XK
y=f(x)
0
A
D
B
xL
xK
λxK
αxK
αxL
λxL
f(x)
f(αx)
αf(x)
f(λx)
λf(x)
E
x
Строго вогнутая функция и убывающая отдача от масштаба
Функция называется строго вогнутой, если ее подграфик (технологическое множество) является выпуклым и при этом для любых двух точек , принадлежащих графику функции, никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка не принадлежит графику:
Функция называется строго вогнутой, если противоположная по знаку функция является строго выпуклой.
Отсутствие
«рога изобилия»:
при
Из строгой вогнутости технологии следует совершенная делимость производства, а значит, убывающая отдача от масштаба:

XL
C
f(x)=q
Y
XK
y=f(x)
0
A
D
B
xL
xK
λxK
αxK
αxL
λxL
f(x)
f(αx)
αf(x)
f(λx)
λf(x)
E
x
Строго вогнутая функция и убывающая отдача от масштаба
Функция называется строго вогнутой, если ее подграфик (технологическое множество) является выпуклым и при этом для любых двух точек , принадлежащих графику функции, никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка не принадлежит графику:
Функция является строго вогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал отрицателен:

XL
C
f(x)=q
Y
XK
y=f(x)
0
A
D
B
xL
xK
λxK
αxK
αxL
λxL
f(x)
f(αx)
αf(x)
f(λx)
λf(x)
E
x
Строго вогнутая функция и убывающая отдача от масштаба
Следовательно, функция является строго вогнутой тогда и только тогда, когда при возрастании порядка главный минор матрицы Гессе
меняет значение с отрицательного на положительное:

0
Y
y=f(x)
XK
XL
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Функция , где X – это выпуклое множество, называется квазивогнутой, если ее верхние лебеговские множества являются выпуклыми:
Любая вогнутая функция обязательно является квазивогнутой.
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно: не любая квазивогнутая функция является вогнутой.
Другими словами, квазивогнутой является функция, вогнутая в любом своем горизонтальном сечении.
Квазивогнутой является функция, у которой подграфик (технологическое множество) является выпуклым в любом своем горизонтальном сечении.
Квазивогнутые функции допускают возможность как убывающей и постоянной, так и возрастающей отдачи от масштаба.

0
Y
y=f(x)
XL
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неположителен вдоль произвольной линии уровня:
Функция , где X – это выпуклое множество, называется квазивогнутой, если ее верхние лебеговские множества являются выпуклыми:
XK

0
Y
y=f(x)
XL
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Функция , где X – это выпуклое множество, называется квазивогнутой, если ее верхние лебеговские множества являются выпуклыми:
Функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неположителен вдоль произвольной линии уровня:
XK

0
Y
y=f(x)
XL
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Выражение в левой части неравенства ниже представляет собой определитель окаймленной матрицы Гессе со знаком «–»:
Функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал неположителен вдоль произвольной линии уровня:
Таким образом, функция является квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее окаймленный гессиан неотрицателен.
XK

0
Y
y=f(x)
XK
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Другими словами, квазивогнутой является функция, строго вогнутая в любом своем горизонтальном сечении.
Квазивогнутой является функция, у которой подграфик (технологическое множество) является выпуклым в любом своем горизонтальном сечении и у которой на изоквантах (кривых безразличия) нет прямых участков..
Функция , где X – это выпуклое множество, называется строго квазивогнутой, если ее верхние лебеговские множества являются выпуклыми и для любых двух различных точек, принадлежащих графику функции, никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка не принадлежит графику функции :
XL

0
Y
y=f(x)
XK
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
Функция , где X – это выпуклое множество, называется строго квазивогнутой, если ее верхние лебеговские множества являются выпуклыми и для любых двух различных точек, принадлежащих графику функции, никакая внутренняя точка соединяющего их отрезка не принадлежит графику функции :
Любая строго вогнутая функция обязательно является строго квазивогнутой.
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно: не любая строго квазивогнутая функция является строго вогнутой.
Строго квазивогнутые функции допускают возможность любого типа (убывающего, постоянного и возрастающего) эффекта масштаба.
XL

0
Y
y=f(x)
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
XK
XL
Функция является строго квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал отрицателен вдоль произвольной линии уровня:

0
Y
y=f(x)
A
Строго квазивогнутая функция с возрастающей отдачей от масштаба
XK
XL
Функция является строго квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее второй дифференциал отрицателен вдоль произвольной линии уровня:
Выражение в левой части неравенства ниже представляет собой определитель окаймленной матрицы Гессе со знаком «–»:
Итак, функция является строго квазивогнутой тогда и только тогда, когда ее окаймленный гессиан положителен.