Производная и её применение в экономике

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории.
Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования.
Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение“/

Маржинализм
В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Во второй половине века была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926), Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс (1835-1882). "Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д

Применение понятия производной
Пример 1.
Пусть производительность труда y есть функция от времени y:x = f(t). Если переменная t получит приращение ∆t, то изменение производительности труда за данный промежуток времени составит
∆y = f(t+ ∆t) – f(t)
Среднее изменение производительности труда за единицу времени определим отношением
∆y\ ∆t = f(t+ ∆t) – f(t)\ ∆t.
Предел этого отношения, если он существует, характеризует рост производительности труда
= f’(t)

Пример 2.
Рост численности населения N в течение определенного времени t есть функция N = f(t). Предел, если он существует, определяет скорость роста населения.
= N’(t)

Пример 3.
Расход природных ресурсов Q в течение времени t есть функция Q = f(t). Предел, если он существует определяет скорость расхода ресурсов.
= Q’(t)

Пример 4.
Выручка u от продаж товара зависит от его количества х:u = u(x). Предел, если он существует, называется предельной выручкой.
= u’(x)

Пример 5.
Издержки производства К зависят от количества выпускаемой продукции х:К = К(х). Предел, если он существует, называется предельными издержками.
= К’(х)

Пример 6.
Процесс износа оборудования Т в течение определенного времени t есть функция Т = Т(t). Предел, если он существует, определяет скорость износа оборудования.
= Т’(t)

Использование производной для решения задач по экономической теории
Задача 1
Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.
Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:
К = - х³+98х²+200х.
Удельные затраты составят
К/х= - х²+98х+200
Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции
У = - х²+98х+200 на промежутке [20;90].
y’ = - 2x+98
y’ = 0, - 2x+98 = 0, x = 49
Вывод: x = 49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.
f(20) = 1760, f(49) = 260, f(90) = 320.
Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2
Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x) = - 0,02x³+600x-1000.
Исследовать потенциал предприятия.
Функция исследуется с помощью производной.
f’(x) = - 0,06x²+600
f’(x) = 0, - 0,06x²+600 = 0, х = 100
Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума.
Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Математика успешно проникает в другие науки, во многом это происходит благодаря дифференциации. Язык математики универсален, что является эффективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразия мира.
Понятие производной в экономике отвечает на многие важные вопросы:
предельные показатели в микроэкономике помогают определить меру реакции величины спроса на данный товар или услугу
- оптимальный уровень налогообложения
- максимизация производства, где необходимо выполнение условия: предельные издержки должны равняться предельному доходу