9_lektsia_-geometr_kharakt

1. Геометрические характеристики поперечных сечений
Сопротивление бруса внешним силам зависит не только от его размеров и материала, но и от формы поперечного сечения, геометрические свойства которого выражаются численно посредством геометрических характеристик.
1.1. Площадь поперечного сечения - A
X
Y
dx
dy
dA = dx∙dy
∫∫ dxdy = ∫dA=А
A
A
Размерность А: [A] = [длина 2] = [ м2]
X
Y
2
3
dy
dx
A = ∫∫dxdy = ∫dx ∫dy = x| y| = 6 (ед2 ).
0
0
0
0
А
2
3
3
2
А

Геометрические характеристики
Простейшие виды поперечных сечений:
A = b·h
A = ½ b·h
A = πd2/4
A = π D2(1-α2)/4;
α = d/D
Сложное сечение
1
2
3
А = Σ Аi = (A1-A2+A3) > 0
i
n
A = πd2/8
А

Геометрические характеристики
1.2. Статические моменты поперечного сечения – Sx , Sy
.
c
. C
dA
dA
A
X
Y
Y
X
x
x
y
y
xc
xc
yc
yc
SX = ∫ y∙dA,
SY = ∫ x∙dA.
(1)
[S] = [длина3]
> 0
< 0
= 0
SX = ∫ y∙dA = A∙ yC
SY = ∫ x∙dA = A∙ xC
yC = SX / A
xC = Sy / A
(2)
dA ·y = dMx
dA ·x = dMy
Оси, проходящие через центр тяжести, называются центральными.
Центральных осей – бесконечное множество.
Из (2)
S y, x = 0 для центральных осей
А

Геометрические характеристики
Во многих случаях положение центра тяжести можно определить непосредственно.Например, если сечение имеет ≥ 2 осей симметрии:
с
·
·
с
с
·
Если сечение имеет одну ось симметрии, то центр тяжести распо-лагается на этой оси, поэтому для нахождения т.С достаточно найти только одну координату.
·
с
Сложное сечение
y
x
∑ A i
1
2
3
Y C =
X C =
∑ S x
∑ S y
∑ A i
i
i
i
i
(2')
i
i

Геометрические характеристики
Сложное сечение разбивается на сечения, центры тяжести которых известны. Запишем их положение для некоторых сечений.
h
b
1/3 h
C
.
d
0.42 r
C
·
h
b
C
·
·
C
d

Геометрические характеристики
1.3. Моменты инерции поперечного сечения – I x , I y , I x y , I p .
dA
dA
y
y
y
y
x
x
x
x
Осевые моменты
I x = ∫ y2·dA ;
I y = ∫ x2·dA.
> 0 (3)
[I] = [длина 4]
ρ2 = x2 + y2
ρ
Центробежный момент
I x y = ∫ x y· dA (4)
Полярный момент
Iρ = ∫ ρ2 · dA (5)
Iρ = I x + I y (6)
> 0, = 0, < 0
A
A
A
A
(*)
(*)
А

Геометрические характеристики
Еще раз о центробежном моменте.
y
x
y
y
+ x
- x
I xy = ∫ xy·dA = ∫ xy·dA + ∫ (-x)y·dA = 0
Центробежный момент инерции относи-
тельно осей, из которых хотя бы одна
является осью симметрии, равен нулю.
Обратное также верно.
Сложное сечение
I x, y = ∑ I x, y
i
i
n
A
A/2
A/2
y
z
(1)
1
(2)
2
(3)
3
Ix = Ix - Ix + Ix
Iy = Iy – Iy + Iy
(1)
(2)
(3)
А

Геометрические характеристики
Центральные моменты инерции – моменты относительно
центральных осей. Поскольку центральных осей – бесконечное множество, центральных моментов также – бесконечное множество

Геометрические характеристики
1.4. Моменты инерции простейших сечений
1.5. Изменение моментов инерции при преобразовании осей
Параллельный перенос Поворот осей
.
.
x = xC + b ; (*) y= yC + a; (**)
xα = x cos α + y sin α
yα = - x sin α + y cos α
Xα
Y
XC
YC
Y
X
c
c
c
Yα
α
xc
yc
x
y
dA
a
b
Xc
yc
xc
Дано: Ixc , Iyc, Ixcyc. Ix, Iy, Ixy = ?
Ix = ∫ y2∙dA = (**) = Ixc + a2∙A
Iy = ∫ x2∙dA = (*) = Iyc + b2∙A
Ixy = ∫xy∙dA =(*),(**)=Ixcyc + ab∙A
A
A
(7)
xα
yα
dA
A
Дано: Ixc , Iyc, Ixcyc.
Ixα = ? Iyα = ? Ixαyα=? (8)
А

Геометрические характеристики
1.6. Главные оси. Главные моменты.
Главные оси – оси, относительно которых Ixy = 0
Осевые моменты инерции относительно
главных осей называются главными.
Один главный момент инерции – максима-
лен ( Imax ), другой – минимален ( Imin )
среди других моментов инерции.
С
xc
yc
Существует множество
главных осей, но практический интерес представляют
главные центральные оси – Xc, Yc
и главные центральные моменты I xc, I yc .
Главные центральные моменты «входят» в большинство расчетных формул
В общем случае гл. центр.оси - единственные из бесконечного числа центральных осей.

Геометрические характеристики
Оси симметрии всегда являются главными центральными осями !
Поэтому, если тело имеет хотя бы одну ось симметрии, на-хождение главных центральных осей не представляет труд-ностей.
В случае отсутствия осей симметрии,
С
у
х
u
v
α)
tg 2α =
2Ixy
Iy - Ix
,
и получим оси u,v – главные централь-ные оси.
нужно провести любые
центральные оси,
определить для них центральные моменты
(осевые и центробежный), и затем повернуть эти оси на угол:
А

СИЛОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
Силовая плоскость
Силовая плоскость – плоскость, проходящая через линию действия внешнего силового фактора и продольную ось бруса.
Силовая линия – пересечение силовой плоскости с поперечным сечением бруса.

Геометрические характеристики
1.7. Главные центральные плоскости
z
xC
yC
Плоскость
наименьшей жесткости
Плоскость
наибольшей жесткости
С
Главная центральная плоскость (главная плоскость) – плоскость, проходящая через продольную ось бруса и главную центральную ось.
Для прямоугольника:
Ixc = Imax; Iyc =Imin
Расчет бруса зависит от ориентации силовой плоскости относительно главных плоскостей.
А

Геометрические характеристики
Прокатные поперечные сечения
Прокатанный профиль – это прокатанный металл с определенной
формой поперечного сечения. Основные виды:
Двутавр
Неравнобокий
уголок
Швеллер
Равнобокий
уголок
С
С
С
С
20 см
20 см
100×100×80
20 см
10 см
10 см
200 х 100 х11
№20
№20
Сортамент прокатной стали (ГОСТ №… )
10
●
●
А