Численные методы и оптимизация межпланетных траекторий

Содержание

Слайд 2

Задачи, поставленные на второй семестр

Суть нашего проекта заключается в моделировании и оптимизации

Задачи, поставленные на второй семестр Суть нашего проекта заключается в моделировании и
траектории полетов космических аппаратов при помощи вычислительных алгоритмов, основанных на методах численного исчисления.

На второй семестр была поставлена решения задачи двух тел при помощи численных методов, а конкретно методов семейства Рунге-Кутта и методов Эйлера. Далее провести их сравнение с аналитическом решением, исследовать методы на сходимость, построить соответствующие различным значениям шага по сетке разностные схемы.

Слайд 3

 

Задача двух тел

Задача двух тел

Слайд 4

Задача двух тел
Преобразование координат Работа с эллиптической орбитой

Задача двух тел Преобразование координат Работа с эллиптической орбитой

Слайд 5

Задача Коши

Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач — задачу Коши. По

Задача Коши Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач — задачу Коши.
заданному условию находится функция x(t) при помощи интегрирования и дальнейшего использования начального условия. Ниже приведен общий вид задачи Коши:

Далее, при помощи метода сеток и конечных разностей ищется сеточная функция, область определения и значения которой дискретны.
Ниже приведены различные методы нахождения искомой сеточной функции:

- явная схема Эйлера

- неявная схема Эйлера

схема центральной
разности

 

 

Слайд 6

Сходимость методов

Сходимость методов

Слайд 7

На данном изображении приведен вывод программы, показывающий параметры, нужные для аналитического решения.

На данном изображении приведен вывод программы, показывающий параметры, нужные для аналитического решения.

Слайд 8

Пример работы программы

Пример работы программы

Слайд 10

Разностные схемы

Схема для явного метода Эйлера Схема для метода Рунге-Кутта 4 порядка

Разностные схемы Схема для явного метода Эйлера Схема для метода Рунге-Кутта 4 порядка

Слайд 11


Список литературы:
[1] Федоренко Р.П., «Введение в вычислительную физику». – 1994
[2] Калиткин

Список литературы: [1] Федоренко Р.П., «Введение в вычислительную физику». – 1994 [2]
Н.Н., «Численные методы». – 1978
[3] Муха В.С., «Вычислительные методы и компьютерная алгебра». – 2010
[4] Савельев И.В., «Курс физики – том 1 – Механика. Молекулярная физика». – 1989
[5] Холшевников К.В., Титов В.Б., «Задача двух тел».- 2007
Ссылка на GitHub с исходными кодами:
https://github.com/teodor-r/two_body

Слайд 13

Процесс решения задачи

Построение математической модели заданного физического процесса
Компьютерное моделирование процесса при

Процесс решения задачи Построение математической модели заданного физического процесса Компьютерное моделирование процесса
помощи построенной математической модели
Нахождение аппромиксимированной зависимости при помощи численных методов

Слайд 14

Полученные результаты

При решении задачи о движении тел, брошенного под углом к горизонту,

Полученные результаты При решении задачи о движении тел, брошенного под углом к
использовались такие физические законы, как: II закон Ньютона, закон всемирного тяготения.

При решении использовалась явная схема Эйлера: был взят бесконечно малый промежуток времени, и для каждого значения искалось приращение радиус — вектора.

Получаем зависимость радиус — вектора от времени
на выбранной временной сетке.

Слайд 15

Полученные результаты

Полученная численными методами траектория

Зависимость максимального отклонения
численного и аналитических решений от

Полученные результаты Полученная численными методами траектория Зависимость максимального отклонения численного и аналитических

величины разбиения сетки

Слайд 16

Полученные результаты

Далее была решена задача, в которой рассматривается два тела, одно из

Полученные результаты Далее была решена задача, в которой рассматривается два тела, одно
которых покоится,
А другое движется под действием сил тяготения. В решении этой задачи были также использованы II закон Ньютона и закон всемирного тяготения.

Далее, при помощи явной схемы Эйлера была получена сеточная зависимость радиус — вектора от времени.

Слайд 17

Полученные результаты

Тело движется в поле действия
второго тела

Тело преодолело притяжение
второго тела
и

Полученные результаты Тело движется в поле действия второго тела Тело преодолело притяжение
удаляется от него

Слайд 18

В данный момент мы решаем, так называемую, задачу двух тел. Её формулировка

В данный момент мы решаем, так называемую, задачу двух тел. Её формулировка
следующая: даны два тела, их массы, начальные скорости и радиус-векторы. Между телами действует лишь сила гравитационного притяжения. Требуется отыскать зависимость положения обеих тел от времени.
Для решения данной задачи был выбран классический метод Рунге-Кутты четвертого порядка.

Задачи, которые предстоит решить

Слайд 19

 

Задача двух тел

Задача двух тел

Слайд 20

Поворот пространства

 

Поворот пространства

Слайд 21

Виды траекторий движения

Эллиптическая траектория движения тел
Гиперболическая траектория движения тел

Виды траекторий движения Эллиптическая траектория движения тел Гиперболическая траектория движения тел

Слайд 22

Имеем выражение для истинной и эксцентричной аномалии:
Дифференцируем его:
Переписываем полученное выражение, где n

Имеем выражение для истинной и эксцентричной аномалии: Дифференцируем его: Переписываем полученное выражение,
константа для средней аномалии:
Интегрируем полученное выражение, получаем (М – средняя аномалия):
Далее переписываем и решаем это уравнение просто рекуррентно с начальной подстановкой E0 = M:

Cвязь эксцентричной аномалии с истинной

Слайд 23

По своей сути, задача двух тел – один из случаев задачи Коши,

По своей сути, задача двух тел – один из случаев задачи Коши,
рассмотренной ранее.
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка – один из методов решения таких задач.

Метод Рунге-Кутты

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Слайд 24

 

Явные методы Рунге-Кутта

 

Явные методы Рунге-Кутта

Слайд 25

 

Метод Рунге - Кутты с автоматическим выбором шага

Метод Рунге - Кутты с автоматическим выбором шага

Слайд 27

Оптимизация траектории - процесс проектирования траектории, который сводит к минимуму (или максимизирует) некоторую меру производительности при соблюдении

Оптимизация траектории - процесс проектирования траектории, который сводит к минимуму (или максимизирует)
набора ограничений.

Оптимизация траекторий

Слайд 28

Прямой метод решения задачи оптимизации траектории состоит из двух этапов:
1) Непосредственно

Прямой метод решения задачи оптимизации траектории состоит из двух этапов: 1) Непосредственно
дискретизировать задачу оптимизации траектории, преобразовав ее в задачу оптимизации с ограниченными параметрами.
2) Решить эту задачу оптимизации.

Прямой метод решения задач оптимизации

Слайд 29

Одиночная стрельба – ограничение дефекта на всем сегменте
Многократная стрельба – ограничение дефекта

Одиночная стрельба – ограничение дефекта на всем сегменте Многократная стрельба – ограничение
на множестве сегментов изначальной области решения

Примеры прямых методов

Имя файла: Численные-методы-и-оптимизация-межпланетных-траекторий.pptx
Количество просмотров: 44
Количество скачиваний: 0