Численные методы и оптимизация межпланетных траекторий

Задачи, поставленные на второй семестр
Суть нашего проекта заключается в моделировании и оптимизации траектории полетов космических аппаратов при помощи вычислительных алгоритмов, основанных на методах численного исчисления.
На второй семестр была поставлена решения задачи двух тел при помощи численных методов, а конкретно методов семейства Рунге-Кутта и методов Эйлера. Далее провести их сравнение с аналитическом решением, исследовать методы на сходимость, построить соответствующие различным значениям шага по сетке разностные схемы.

Задача двух тел

Задача двух тел
Преобразование координат Работа с эллиптической орбитой

Задача Коши
Рассмотрим одну из наиболее часто встречающихся задач — задачу Коши. По заданному условию находится функция x(t) при помощи интегрирования и дальнейшего использования начального условия. Ниже приведен общий вид задачи Коши:
Далее, при помощи метода сеток и конечных разностей ищется сеточная функция, область определения и значения которой дискретны.
Ниже приведены различные методы нахождения искомой сеточной функции:
- явная схема Эйлера
- неявная схема Эйлера
схема центральной
разности

Сходимость методов

На данном изображении приведен вывод программы, показывающий параметры, нужные для аналитического решения.

Пример работы программы

Разностные схемы
Схема для явного метода Эйлера Схема для метода Рунге-Кутта 4 порядка

Список литературы:
[1] Федоренко Р.П., «Введение в вычислительную физику». – 1994
[2] Калиткин Н.Н., «Численные методы». – 1978
[3] Муха В.С., «Вычислительные методы и компьютерная алгебра». – 2010
[4] Савельев И.В., «Курс физики – том 1 – Механика. Молекулярная физика». – 1989
[5] Холшевников К.В., Титов В.Б., «Задача двух тел».- 2007
Ссылка на GitHub с исходными кодами:
https://github.com/teodor-r/two_body

Процесс решения задачи
Построение математической модели заданного физического процесса
Компьютерное моделирование процесса при помощи построенной математической модели
Нахождение аппромиксимированной зависимости при помощи численных методов

Полученные результаты
При решении задачи о движении тел, брошенного под углом к горизонту, использовались такие физические законы, как: II закон Ньютона, закон всемирного тяготения.
При решении использовалась явная схема Эйлера: был взят бесконечно малый промежуток времени, и для каждого значения искалось приращение радиус — вектора.
Получаем зависимость радиус — вектора от времени
на выбранной временной сетке.

Полученные результаты
Полученная численными методами траектория
Зависимость максимального отклонения
численного и аналитических решений от
величины разбиения сетки

Полученные результаты
Далее была решена задача, в которой рассматривается два тела, одно из которых покоится,
А другое движется под действием сил тяготения. В решении этой задачи были также использованы II закон Ньютона и закон всемирного тяготения.
Далее, при помощи явной схемы Эйлера была получена сеточная зависимость радиус — вектора от времени.

Полученные результаты
Тело движется в поле действия
второго тела
Тело преодолело притяжение
второго тела
и удаляется от него

В данный момент мы решаем, так называемую, задачу двух тел. Её формулировка следующая: даны два тела, их массы, начальные скорости и радиус-векторы. Между телами действует лишь сила гравитационного притяжения. Требуется отыскать зависимость положения обеих тел от времени.
Для решения данной задачи был выбран классический метод Рунге-Кутты четвертого порядка.
Задачи, которые предстоит решить

Задача двух тел

Поворот пространства

Виды траекторий движения
Эллиптическая траектория движения тел
Гиперболическая траектория движения тел

Имеем выражение для истинной и эксцентричной аномалии:
Дифференцируем его:
Переписываем полученное выражение, где n константа для средней аномалии:
Интегрируем полученное выражение, получаем (М – средняя аномалия):
Далее переписываем и решаем это уравнение просто рекуррентно с начальной подстановкой E0 = M:
Cвязь эксцентричной аномалии с истинной

По своей сути, задача двух тел – один из случаев задачи Коши, рассмотренной ранее.
Метод Рунге-Кутты четвертого порядка – один из методов решения таких задач.
Метод Рунге-Кутты

Явные методы Рунге-Кутта

Метод Рунге - Кутты с автоматическим выбором шага

Оптимизация траектории - процесс проектирования траектории, который сводит к минимуму (или максимизирует) некоторую меру производительности при соблюдении набора ограничений.
Оптимизация траекторий

Прямой метод решения задачи оптимизации траектории состоит из двух этапов:
1) Непосредственно дискретизировать задачу оптимизации траектории, преобразовав ее в задачу оптимизации с ограниченными параметрами.
2) Решить эту задачу оптимизации.
Прямой метод решения задач оптимизации

Одиночная стрельба – ограничение дефекта на всем сегменте
Многократная стрельба – ограничение дефекта на множестве сегментов изначальной области решения
Примеры прямых методов