Динамика и устойчивость сооружений

Основные предпосылки
и гипотезы
Рассматриваются линейно
деформируемые системы.
2. Исходное состояние – равновесие
при статических (квазистатических)
воздействиях.
3. Определяются динамические
составляющие характеристик
напряжённо- деформированного
состояния системы.
4. Сопротивление движению учитывается
по модели вязкого трения.

Плоский динамический изгиб прямолинейного стержня
с распределённой массой
Рабочие гипотезы
Динамический изгиб стержня считается независимым от влияния других видов деформаций ( кручения, растяжения-сжатия, сдвига ).
Инерция поворота масс при изгибе не учитывается.
x
A (x), I (x)
– собственная масса стержня
– присоединённая масса

Свободное изгибное движение прямолинейного стержня
с распределённой массой
x
A (x), I (x)
x
y
0
ПСР
v (x,t)
Задача:
определить функцию v (x,t), описывающую движение центра тяжести
произвольного сечения
с абсциссой х.

x
x
y
0
ПСР
v (x,t)
qf (x,t)
Сопротивление
вязкой среды
qin (x,t) –
интенсивность
сил инерции
dx
Q (x,t)
M (x,t)
dx
qf (x,t)
qin (x,t)
Решение кинетостатическим методом

Уравнения состояния элемента dx
1. Уравнения равновесия (статика)
Q (x,t)
M (x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
dx
Σ m = 0,
Σ y = 0.

Уравнения состояния элемента dx
1. Уравнения равновесия (статика)
Q (x,t)
M (x,t)
qf (x,t)
qin (x,t)
dx
Разрешающее
уравнение равновесия:
2. Уравнение совместности
перемещений и деформаций
(геометрия)
3. Физические зависимости
Закон
инерции
Модель
Фойгта
Закон Гука
при изгибе

Дифференциальное уравнение свободного изгибного движения прямолинейного стержня
переменной жёсткости
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
– уравнение в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

Частные случаи
дифференциального уравнения свободного изгибного движения прямолинейного стержня
2. Стержень постоянной жёсткости EI
с равномерно распределённой массой
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения)
1. Стержень постоянной жёсткости EI(x) = const = EI
или
(А)

Общее решение уравнения (А)
по методу Фурье:
Частный случай –
собственные изгибные колебания:
Дифференциальное уравнение амплитуд прогибов
при собственных изгибных колебаниях
прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учета демпфирования:
, где
(В)

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (В):
r4 – k4 = 0
r1 = k , r2 = – k , r3 = ki , r4 = – ki
Решение дифференциального уравнения (В):
v(x) = C1e kx + C2e –kx + C3 cos kx +C4 sin kx
Линейное преобразование постоянных интегрирования:
+ C3 cos kx + C4 sin kx

Балочные функции А.Н. Крылова:
Akx = (ch kx + cos kx)/2
Bkx = (sh kx + sin kx)/2
Ckx = (ch kx – cos kx)/2
Dkx = (sh kx – sin kx)/2
Свойства функций Крылова:
Akx
Bkx
Dkx
Ckx
* k
При х = 0: A0 = 1, B0 = C0 = D0 = 0
2. Правило дифференцирования функций:

Функция амплитуд прогибов
при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров
x
x
y
0
ПСР
v (x)
y
qin (x)
v0
θ0
Q0
M0
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я п р и х = 0:
1) статические 2) кинематические
Q0
M0
Q(0)
M(0)
dx
Σm = 0
Σy = 0
v(0) = v0
θ(0) = θ0
M(0) = M0
Q(0) = Q0

Функция амплитуд прогибов
при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров
x
x
y
0
ПСР
v (x)
y
qin (x)
v0
θ0
Q0
M0

Функции амплитуд характеристик НДС
при собственных колебаниях – в форме метода начальных параметров

Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП
x
y
0
ПСР
v (x)
y
qin (x)
v0
θ0
Q0
M0
x

x
F
y
0
ПСР
v (x)
y
qin (x)
v0
θ0
Q0
M0
aF , aM
M
F
R
J
Реакция внешней линейной связи
Сила инерции точечной массы
M
J
Реакция внешней угловой связи
Инерционный момент неточечной массы
R
x
aF , aM = 0
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП

x
F
y
0
ПСР
v (x)
y
qin (x)
v0
θ0
Q0
M0
aF , aM
I
II
M
Продолжение vI(x)
vI(x)
vII(x)
Δv (x)
x
Δv (x) = vII(x) – vI(x) =
Из условий на границе х = а
( а = aF , aM )
Δv0 = 0, Δθ0 = 0, ΔM0 = M, ΔQ0 = F
Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП

Учет сосредоточенных сил и моментов
в выражениях характеристик НДС по МНП

Основные уравнения и уравнение частот собственных колебаний по МНП
Г р а н и ч н ы е у с л о в и я ( Г У )
К и н е м а т и ч е с к и е Г У
R
aR
M
aM
cθ
cΔ
v (aR) = – R/cΔ
θ (aM) = M/cθ
C т а т и ч е с к и е Г У
Q0
M0
Q(0)
M(0)
M(lк)
Q(lк)
Fк
Mк
dx
dx
Σ m = 0
Σ y = 0
Основные
уравнения
МНП:
f * W = 0
Правила:
1. Кинематические ГУ записываются для точек, где имеются внешние связи.
2. Статические ГУ – уравнения равновесия двух элементов dx по концам стержня.

Основные уравнения и уравнение частот собственных колебаний по МНП
f * W = 0
v0
θ0
M0
Q0
[ R ]
W = n
f11 f12 …f1k …f1n
f21 f22 …f2k …f2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fi1 fi2 … fik … fin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
fn1 fn2 …fnk …fnn
f =
(n * n)
f = f(k)
Решение основных уравнений МНП
Тривиальное решение: W = 0 –
2. Нетривиальное решение: W 0
( условие существования
собственных колебаний )
Det ( f ) = 0
Уравнение частот
собственных колебаний
по МНП:

Спектр частот собственных колебаний
и главные формы колебаний
Det ( f )
k
0
k1
k2
kj
Поиск корней частотного уравнения
Определение частот собственных колебаний
Выявление главных форм колебаний
( Wk = 0 )
f – числовая матрица;
βWk = 1
ω1
ω2

Вынужденное изгибное движение прямолинейного стержня
с распределённой массой
x
x
y
0
ПСР
v (x,t)
q (x,t)
F (t)
aM
aq
aF
M (t)

x
x
y
0
ПСР
v (x,t)
q (x,t)
F (t)
aM
aq
aF
Решение кинетостатическим методом
qin (x,t)
qf (x,t)
q (x,t)
qin (x,t)
qf (x,t)
dx
M (t)

Решение кинетостатическим методом
M (x,t)
Уравнения
равновесия
(статика)
q (x,t)
qin (x,t)
qf (x,t)
dx
Q (x,t)
Σ m = 0,
Σ y = 0.
Разрешающее
уравнение равновесия:

Дифференциальное уравнение вынужденного изгибного движения прямолинейного стержня
переменной жёсткости
с неравномерно распределённой массой
(сопротивление вязкой среды –
по модели Фойгта)
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

Частный случай – дифференциальное уравнение вынужденного изгибного движения прямолинейного стержня
переменной жёсткости с неравномерно распределённой массой
без учета сопротивления вязкой среды
– неоднородное уравнение
в частных производных по x и t
с переменными коэффициентами

Решение дифференциального уравнения
v(x,t) = v(x,t)+ v*(x,t)
v(x,t) – общее решение однородного диф. уравнения
v*(x,t) – частное решение неоднородного диф. уравнения
Для стержня постоянной жёсткости EI
с равномерно распределённой массой
без учета демпфирования (внешнего и внутреннего трения):
При отсутствии распределённой нагрузки ( q(x,t) = 0 ):
v(x,t) = v(x,t)

Учёт сосредоточенных нагрузок
Статические условия на границе участков
в точке приложения F(t) , M(t)
F (t)
M (t)
dx
dx
a = aF , aM
M (a – dx, t)
Q (a – dx, t)
Q (a + dx, t)
M (a + dx, t)
Q (a + dx, t)
– Q (a – dx, t) =
F (t)
M (a + dx, t)
– M (a – dx, t) =
M (t)
i+1
i
Σ m = 0,
Σ y = 0.

Установившиеся вынужденные изгибные колебания прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
q (x,t) = q(x)
F (t) = F
M (t) = M
* sin ωF t
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению
уравнение в амплитудах прогибов
Общее решение однородного уравнения:
Частное решение неоднородного уравнения при q(x) = const:
Добавка к прогибам за
счёт нагрузки q при x > aq :
Условия в начале участка (при x = aq , x1 = 0):
( x1 = x – aq )
+
Полное решение в форме метода начальных параметров:

Установившиеся вынужденные изгибные колебания прямолинейного стержня постоянной жёсткости
с равномерно распределённой массой, без учёта демпфирования
( случай гармонической нагрузки )
q (x,t) = q(x)
F (t) = F
M (t) = M
* sin ωF t
функция прогибов, удовлетворяющая дифференциальному
уравнению
уравнение в амплитудах прогибов
+
Полное решение в форме метода начальных параметров:
f * W + BF = 0
v0
θ0
M0
Q0
[ R ]
W = n
f11 f12 … f1k … f1n
f21 f22 … f2k … f2n . . . . . . . . . . . . . . .
fi1 fi2 … fik … fin
. . . . . . . . . . . . . . .
fn1 fn2 … fnk … fnn
f =
(n * n)
f = f (k)
Основные уравнения МНП:
(из КГУ и СГУ)
B1F
B2F
B3F
B4F
[ BRF ]
BF = n
W = – f – 1 * BF

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы
( в скобках даны номера слайдов, на которых можно найти ответы на вопросы;
для перехода к слайду с ответом можно сделать щелчок мышью по номеру в скобках*);
для возврата к контрольным вопросам сделать щелчок правой кнопкой мыши
и выбрать «Перейти к слайду 32» )
1. Каковы основные предпосылки и гипотезы теории динамических расчётов
линейно деформируемых систем с распределёнными массами? ( 2 )
2. Какие рабочие гипотезы дополнительно вводятся в теории динамического изгиба
прямолинейных стержней с распределённой массой ( РМ )? ( 3 )
3. Расчётная схема в случае решения кинетостатическим методом задачи о свободных
изгибных колебаниях прямолинейного стержня с РМ. ( 5 )
4. Какие силовые факторы учитываются в статических уравнениях? ( 6 )
5. Как записываются геометрические соотношения? ( 7 )
6. Какие физические зависимости используются в решении задачи? ( 7 )
7. Вывод разрешающего дифференциального уравнения прогибов прямолинейного
стержня с РМ в общем случае свободного изгибного движения. ( 6 – 8 )
Частные случаи. ( 9 )
8. Как получается дифференциальное уравнение амплитуд прогибов стержня
постоянного сечения с равномерно распределённой массой в случае собственных
изгибных колебаний? ( 10 ) Какой вид имеет его решение? ( 11 )
9. Представление решения в балочных функциях Крылова. ( 11 )
Каковы свойства функций Крылова? ( 12 )
10. Выражения амплитуд динамических прогибов, углов поворота сечений, изгибающих
моментов и поперечных сил при собственных колебаниях в форме метода начальных
параметров ( МНП ). ( 15 ) , ( 19 )
11. Как учитывается в выражениях амплитуд характеристик напряжённо-деформирован-
ного состояния ( НДС ) стержня влияние сосредоточенных сил и моментов в произволь-
ных точках стержня? ( 19 ) Какими могут быть по физическому смыслу эти сосредото-
ченные воздействия при собственных колебаниях? ( 17 )
*) Только в режиме «Показ слайдов»