Динамика механической системы. Лекция 1

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Динамика. Основные положения.
Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных тел, под действием приложенных к ним сил.
В динамике, при изучении движения тел учитываются как действующие на них силы, так и инертность самих тел.
Инертность тела проявляется в его способности сохранять свое движение при отсутствии действующих сил. Количественной мерой инертности материального тела является его масса.
3) Масса тела не зависит от скорости ее движения.
Понятие силы, как меры механического взаимодействия между телами переносится из статики, но в динамике наряду с постоянными силами, рассматриваются действия на тело переменных сил, модули и направления которых при движении тела изменяются. Переменными могут быть как активные силы, так и реакции связей.
Основные допущения классической механики.
1) Пространство принимается 3-мерным эвклидовым абсолютным однородным и изотропным. Т.е. обладает чисто геометрическими свойствами, не зависящими от материи и ее движения.
2) Время принимается абсолютным не зависящим от материи и ее движения. Во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга, время течет одинаково.
Простейшая модель материального тела в динамике – материальная точка.
Материальная точка – это модель материального тела, размерами которого в решаемой задаче можно пренебречь, и принять за геометрическую точку, имеющую массу равную массе того тела, которое изображается данной материальной точкой.
Более сложные материальные объекты будем считать состоящими из материальных точек.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Динамика материальной точки. Аксиомы динамики.
Основные разделы курса
Динамика материальной точки
Динамика механической системы
Аналитическая механика
изучает движение материальной точки
под действием сил, вызывающих это движение
изучает движение совокупности материальных точек и твердых тел, объединяемых общими законами
взаимодействия, под действием сил, вызывающих это движение
изучение равновесия и движения механических систем основано на дифференциальных и интегральных принципах механики
Аксиомы динамики.
1) Закон инерции. Изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Впервые открытые Галилеем и сформулированные Ньютоном в 1687 г. составляют основу всех методов описания и анализа движения механических систем и их динамического взаимодействия под действием различных сил. В современной форме аксиомы формулируются применительно к материальной точке.
Изолированная материальная точка - точка на которую не действуют силы или действует уравновешенная система сил.
Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, называется инерциальной. Свойство материальной точки стремиться сохранить неизменной скорость своего движения (свое кинематическое состояние) называется инертностью.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Динамика материальной точки. Аксиомы динамики.
Ни одно тело не может быть полностью изолированным, соответственно инерциальные системы могут быть введены с той или иной степенью приближения. Для нашей Солнечной системы с высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему, начало отсчета которой совпадает с центром Солнца, а оси направлены на удаленные «неподвижные» звезды.
2) Основной закон динамики. Ускорение материальной точки относительно инерциальной системы отсчета пропорционально приложенной к точке силе и направлено по силе.
Положительный коэффициент пропорциональности m, характеризует инертные свойства материальной точки и называется инертной массой.
В отличие от инертной массы, масса, входящая в закон тяготения Ньютона
называется гравитационной массой.
В механике используется единый термин «масса» как мера инертности тела и его гравитационных свойств.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Динамика материальной точки. Аксиомы динамики.
3) Закон равенства сил действия и противодействия. Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки в противоположном направлении.
4) Закон независимости действия сил (закон суперпозиции сил). Ускорение, которое получает материальная точка в результате действия на нее системы сил, равно геометрической ускорений, которые получила бы точка в результате раздельного действия на нее каждой из сил системы.
В качестве этой аксиомы может быть принята аксиома статики о векторном сложении сил.
Для системы сходящихся сил:
Разделив на массу, получим

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
Из второй и четвертой аксиом:
– основное уравнение динамики материальной точки
Ускорение точки при векторном способе задания движения:
Тогда:
– векторное дифференциальное уравнение движения точки.
1) Векторная форма.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
2) Декартова система координат.
3) Естественные оси.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Первая задача динамики материальной точки.
Первая задача динамики материальной точки:
По заданному закону движению точки массой m требуется определить силу, под действием которой происходит движение.
По уравнениям движения точки находим проекции равнодействующей на оси:
Модуль равнодействующей:
Направляющие косинусы вектора равнодействующей:
Пример.
Решение:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Вторая задача динамики материальной точки.
Вторая задача динамики материальной точки: по заданной массе точки и действующим на нее силам, определить движение точки.
Движение точки описывается системой трех дифференциальных уравнений второго порядка:
После интегрирования данной системы, решения будут содержать шесть неизвестных постоянных:
Т.о., силы действующие на точку, не определяют ее конкретного движения, а выделяют целый класс движений.
Для выделения конкретного вида движения материальной точки требуется дополнительно задать условия, позволяющие определить произвольные постоянные.
Определим в качестве этих условий начальные условия в виде:
при t=0:
Полученная задача (начальная задача Коши) имеет единственное решение.

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Пример.
Характеристическое уравнение:
Н.У.:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Пример (продолжение).
Сделаем замену переменных:
Н.У.:

МГТУ им. Н.Э. Баумана
Движение несвободной точки.
Движение точки по гладкой поверхности.
– множитель Лагранжа
– уравнения Лагранжа первого рода