Эффекты квантования чисел в цифровых цепях

Учебные цели:
Кафедра №2, ВАС
Изучить процесс формирования шума (ошибок) квантования и свойства шума квантования.
Дать представление о способах квантования и кодирования чисел в системах ЦОС.
Изучить влияние шума квантования АЦП.

Учебные вопросы:
Кафедра №2, ВАС
Способы квантования чисел.
Шум аналого-цифрового преобразования.
Собственный шум цифровой цепи.
Эффекты квантования коэффициентов.

Литература для самостоятельной работы обучаемых:
Кафедра №2, ВАС
1. Цифровая обработка сигналов. Краткий курс/ Д. А. Улахович – СПб.: ВАС, 2017. – 408 с. (стр. 107-134).
2. Цифровая обработка сигналов./ Авторы: Д. А. Улахович/ Электронное учеб. пособие /– СПб.: ВАС, 2015.

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Способы квантования чисел

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
Свойства шума квантования e(n):
1) последовательность e(n) является случайным процессом типа «белый шум», т. е. любые её два отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом от других источников;
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
Рис. 1
Свойства шума квантования e(n):
1) последовательность e(n) является случайным процессом типа «белый шум», т. е. любые её два отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом от других источников;
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);
4) шум является аддитивным (рис. 1);

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Источники шума (ошибок) квантования; допущения о свойствах шума квантования
Источники шума (ошибок) квантования в цифровых системах:
1) аналого-цифровое преобразование (АЦП) сигналов;
2) умножение цифровых сигналов, результат которого округляется или усекается;
3) квантование коэффициентов (разностного уравнения или передаточной функции).
Рис. 1
Рис. 2
Свойства шума квантования e(n):
1) последовательность e(n) является случайным процессом типа «белый шум», т. е. любые её два отсчёта не коррелированы ;
2) последовательность e(n) не коррелирована как с квантуемой последовательностью x(n), так и с шумом от других источников;
3) представляет собой ошибку округления e(n) = eₒ(n);
4) шум является аддитивным (рис. 4);
5) распределение вероятности ошибок равномерно по диапазону ошибок квантования (рис. 5).

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Квантование выполняется двумя способами:
1. Усечение k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
Максимальная ошибка усечения
равна шагу квантования:
0.0110 11 0.0110
0,421875 0,375

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Квантование выполняется двумя способами:
1. Усечение k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
Максимальная ошибка усечения
равна шагу квантования:
0.0110 11 0.0110
0,421875 0,375
2. Округление k-разрядного числа до b значащих разрядов (k > b)
а) Округление до ближайшего
0.0110 11 0.0111
0,421875 0,4375

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Прямой код
используется при выполнении умножения

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Прямой код
используется при выполнении умножения
Обратный код

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Прямой код
используется при выполнении умножения
Обратный код
Дополнительный код
Подобен без знаковому числу: бит, находящийся в знаковом разряде, участвует во всех арифметических операциях

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
x(t) – аналоговый сигнал, подвергающийся дискретизации,
x͂(n)– дискретный сигнал с неограниченной точностью представления отсчётов,
x(n)– цифровой сигнал, значения которого отмечены точками.
Рис. 2. Формирование цифрового сигнала (квантование по времени и по уровню)
int[a] - ближайшее целое, не меньшее a
Количество уровней квантования (включая нулевой)
Пример 1:
В системах ЦОС с фиксированной точкой (запятой):

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Шум аналого-цифрового преобразования

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Идеальный
дискретизатор
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
Рис. 5

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Идеальный
дискретизатор
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
Рис. 5
Вероятностные оценки:
Математическое ожидание:
Дисперсия:

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Идеальный
дискретизатор
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
Рис. 5
Вероятностные оценки:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Мощность шума квантования:
Детерминированная оценка:
абсолютная граница шума АЦП

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Идеальный
дискретизатор
2. Оценки шума АЦП при округлении чисел
Рис. 5
Вероятностные оценки:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Мощность шума квантования:
Детерминированная оценка:
абсолютная граница шума АЦП
Пример:

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
2. Шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы
Условия:
коэффициенты системы и все арифметические операции реализуются точно;
шум АЦП аддитивный.
Цифровая система

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
2. Шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы
Условия:
коэффициенты системы и все арифметические операции реализуются точно;
шум АЦП аддитивный.
Цифровая система
- отсчеты дискретного входного сигнала, представленного точно;
- шум АЦП;
- квантованный сигнал;
- отсчеты дискретного выходного сигнала, представленного точно;
- шум АЦП, приведённый к выходу цифровой системы;

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Собственный шум цифровой системы

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Определение:
Собственный шум цифровой системы — это выходной шум квантования, обусловленный округлением результатов операций умножения.
Для анализа собственного шума необходимо:
Составить линейную модель цифровой системы, учитывающую шумы квантования в тех точках системы, в которых выполняется операция умножения.
Вычислить все реакции системы на каждый шумовой сигнал, формируемый умножителем (составляющие собственного шума).
Найти оценки собственного шума цифровой системы на основе полученных составляющих.

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Определение:
Собственный шум цифровой системы — это выходной шум квантования, обусловленный округлением результатов операций умножения.
Для анализа собственного шума необходимо:
Составить линейную модель цифровой системы, учитывающую шумы квантования в тех точках системы, в которых выполняется операция умножения.
Вычислить все реакции системы на каждый шумовой сигнал, формируемый умножителем (составляющие собственного шума).
Найти оценки собственного шума цифровой системы на основе полученных составляющих.

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
1. Собственный шум умножителя
Рис. 7. Линейная модель умножителя с квантованием
Условие: умножение осуществляется точно, а к результату подмешивается аддитивная ошибка квантования.
Параметры:
ошибка квантования
разрядность результата умножения
шаг квантования
Оценки шума:

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
3.2. Полный собственный шум цепи
Составляющие полного собственного шума — это реакции цифровой цепи на ошибки каждого умножителя.
i-ый источник
шума
Импульсная характеристика от
i-го источника шума до выхода цепи
По свойству линейности цифровой системы:
Рис. 8

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Полный собственный шум цепи
Математическое ожидание
Дисперсия
Абсолютная граница
Полный выходной шум цепи

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Эффекты квантования в цифровых цепях

Кафедра №2, ВАС
Четвертый учебный вопрос
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости цепи!
1. Эффекты квантования коэффициентов

Кафедра №2, ВАС
Четвертый учебный вопрос
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости цепи!
1. Эффекты квантования коэффициентов
Рис. 9
а)

Кафедра №2, ВАС
Четвертый учебный вопрос
Квантование коэффициентов эквивалентно изменению значений нулей и полюсов передаточной функции, что приводит к изменению частотных характеристик цепи.
В БИХ-цепях квантование коэффициентов может привести к потере устойчивости цепи!
1. Эффекты квантования коэффициентов
Рис. 9
а)
Округление до десятых
б)

Кафедра №2, ВАС
Четвертый учебный вопрос
2. Понятие о предельных циклах
Виды предельных циклов:
предельные циклы низкого уровня, связанные с квантованием отсчетов обрабатываемого сигнала;
предельные циклы высокого уровня, связанные с переполнениями регистров сумматоров.
Определение:
Предельными циклами низкого уровня называют незатухающие колебания, которые могут возникать в рекурсивных системах при отсутствии (или малом уровне) воздействия и ненулевых начальных условиях.
Появление этих колебаний обусловлено ошибками округления при квантовании сигналов на выходах умножителей.
предельный цикл низкого уровня

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы, сумма оказывается больше единицы.

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы, сумма оказывается больше единицы.
результат сложения
в дополнительном коде
Рис. 10. Эффект переполнения

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
3. Переполнение в сумматорах и коэффициенты масштабирования
Определение:
Переполнением называют такое состояние сумматора, когда при сложении отсчётов одинаковых знаков, значения которых по абсолютной величине не превышают единицы, сумма оказывается больше единицы.
результат сложения
в дополнительном коде
Рис. 10. Эффект переполнения
Масштабирование сигналов: подбирается такая положительная константы γ < 1, умножение на которую отсчётов обрабатываемой последовательности (сигнала) исключает переполнение сумматора.

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Пример (рис. 11) простейшего масштабирования по количеству звеньев второго порядка
коэффициент масштабирования системы
Рис. 11.

Заключение
Кафедра №2, ВАС
В цифровых системах проблема точности представления параметров системы (коэффициентов передаточных функций и иных констант) и результатов арифметических вычислений является чрезвычайно актуальной. Без учёта эффектов их квантования всегда возможно получить ошибочный результат. По этой причине при реализации того или иного алгоритма в процессорах с фиксированной точкой применяют представление чисел с двойной точностью; если же и это не спасает, то переходят к процессорам с плавающей точкой, что далеко не всегда эффективно.