Элементы аналитической механики

Связи записываются в виде уравнений или неравенств. Конструктивно связи могут быть выполнены в виде шарниров, стержней, нитей, направляющих, поверхностей и т.д.
Примеры:
1) Две материальные точки соединены жёстким стержнем длиной l1.
2) Три материальные точки связаны нерастяжимыми нитями длиной l1 и l2.
3) Конёк движется по поверхности льда. Выпуклое лезвие конька касается поверхности льда в одной точке.
Положение конька в плоскости льда может быть любое, но скорость точки касания конька со льдом направлена вдоль конька.

Классификация связей:
1) Голономные – в их уравнении связей нет производных от координат по времени t. Остальные связи являются неголономными.
2) Стационарные – если в уравнение голономной связи не входит явно время t. Если время t входит, то такая связь нестационарная.
3) Удерживающие – описываются при помощи уравнений. При помощи неравенств описываются неудерживающие связи.
2. Возможные перемещения для голономных систем
Пусть материальная точка перемещается по поверхности (уравнение связи):
(1)
При точка имеет координаты
Возможный закон перемещения точки с учётом уравнения (1) можно задать в параметрическом виде:
(2)

Где – некоторый параметр. Функции (2) должны обращать уравнение (1) в тождество по параметру :
(3)
Вычислим полный дифференциал от тождества (3) и подставим значения координат . Получим уравнение, которому должны удовлетворять дифференциалы координат точки .
(4)
Среди всех возможных перемещений точки М реализуется только одно действительное, определяемое действующими силами. Чтобы отличить возможные перемещения от действительных, дифференциалы возможных перемещений обозначают: . Тогда уравнение (5) запишется в виде:
(5)
– вариации координат точки.
Уравнение (5) – варьированное уравнение связи.
- вектор возможных перемещений точки М из положения М0.

Этот вектор направлен по касательной к кинематически возможной траектории точки М. Уравнение (5) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:
(6)
направлен по нормали к поверхности, описываемой уравнением
Геометрический смысл уравнения (6) – вектор перпендикулярен к нормали, проведенной к поверхности связи. Этому условию удовлетворяют множество векторов, и все они лежат в касательной плоскости к поверхности связи , проведённой в точке М.
Вектор действительного перемещения в стационарной связи удовлетворяет условию (6), т.о. он является одним из векторов возможного перемещения.
, где - истинная скорость точки М.
, где - возможная скорость точки М.
Если связь нестационарная, т.е. уравнение связи имеет вид то фиксируется время t, и в этот момент вектор удовлетворяет уравнению (6). Т.е. для того, чтобы найти возможные перемещения в нестационарной связи, её нужно превратить в стационарную, зафиксировав время t.

Но свойства действительных перемещений в нестационарных связях существенно различны. При истинном движении точки по нестационарной связи должно соблюдаться тождество
Таким образом, вектор действительного перемещения не будет удовлетворять уравнению (5), т.к.
Значит, в случае нестационарной связи действительное перемещение не является одним из частных случаев возможного:
При этом операция варьирования отличается от операции определения полного дифференциала тем, что t считается фиксированным, значит
3. Возможная работа
Возможной работой в данный момент времени t0 называется такая работа, которую совершили бы силы , приложенные к точкам системы на возможном перемещении точек системы.

! Очевидно, что если , то
4. Идеальные связи
Связи называются идеальными, если возможная работа реакций связи на любом возможном перемещении системы из любого её положения равна нулю.
То есть, если - реакция связи, то для идеальных связей
Из уравнения видно, что реакция должна быть перпендикулярна к любому возможному перемещению точки.
5. Принцип возможных перемещений
Пусть система материальных точек под действием всех приложенных к ней сил и реакций связей находится в равновесии. Все связи системы будем считать идеальными.
Для одной материальной точки т.к. она находится в равновесии.
На любом возможном перемещении соответствующие возможные работы:
Просуммируем такие равенства для всех точек.

Но если все связи идеальные, то второе слагаемое равно нулю, тогда
- принцип возможных перемещений
Это уравнение можно записать в виде:
- угол между векторами силы и возможного перемещения.
- вектор возможного перемещения
Принцип возможных перемещений даёт в общей форме условие равновесия для любой механической системы в целом, без расчленения системы на отдельные тела. В расчёте учитываются только активные силы, заранее исключаются из рассмотрения все неизвестные реакции связей, если связи идеальные.
! Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнения надо составить для каждого из независимых перемещений в отдельности
! Принципом возможных перемещений можно пользоваться и при наличии трения, включая силы трения в число активных сил.
! Этим методом можно находить реакции связей, если отбросить связь, заменив её реакцией и рассматривать, как активную силу.