Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Построение структурных схем БИХ-фильтров

Учебные цели:
Кафедра №2, ВАС
Научиться синтезировать БИХ-фильтры методом билинейного Z-преобразования с использованием пакета программ FD3.
Подготовить курсантов к лабораторной работе.

Учебные вопросы:
Кафедра №2, ВАС
Пример синтеза фильтра по заданным требованиям.
Расчёт добротностей полюсов.
Конструирование каскадной (последовательной) схемы.
Система разностных уравнений.

Первый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Пример синтеза фильтра по заданным требованиям

Кафедра №2, ВАС
16
Первый учебный вопрос
1. Задание требований:
частота дискретизации fд = 2000 Гц;
граничные частоты: f–k = 200 Гц; f–χ = 350 Гц; fχ = 600 Гц; fk = 750 Гц;
допустимые отклонения: в полосе пропускания amax = 1 дБ (δ1 = 0,108749), в полосе задерживания a0 = –30 дБ (δ2 = 0,0316228);
аппроксимация АЧХ – Золотарёва-Кауэра.
2. Расчёт заданного фильтра.
Рассмотреть содержание всех окон и возможности их управления:
фильтр рассчитывается автоматически (в данном случае он равен 6) и не может быть изменён;
сколько звеньев 2-го порядка (биквадратных звеньев) содержит фильтр 6 порядка;
обратить внимание на принципиальную нелинейность ФЧХ БИХ-фильтров и наличие скачков на π рад в полосах задерживания на тех частотах, где A(f) = 0. Пояснить связь между АЧХ и картой нулей и полюсов;
убедиться в бесконечности импульсной характеристики БИХ-фильтра.

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Расчёт добротностей полюсов

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
– нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить добротность одного из этой пары полюсов (нулей).
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, для первой пары полюсов имеем:

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
– нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить добротность одного из этой пары полюсов (нулей).
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, для первой пары полюсов имеем:
Аналогично для второй пары полюсов:

Второй учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Добротность Qk k-го нуля или полюса определяется по формуле:
где rk – радиус полюса (нуля),
– нормированная частота (угол) полюса (нуля).
Поскольку добротности комплексно-сопряжённых полюсов (нулей) одинаковы, достаточно вычислить добротность одного из этой пары полюсов (нулей).
Радиусы и нормированные частоты можно найти по координатам η и ξ на карте нулей и полюсов. Так, для первой пары полюсов имеем:
Аналогично для второй пары полюсов:
и для третьей пары полюсов:

Третий учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Конструирование каскадной (последовательной) схемы

Кафедра №2, ВАС
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
коэффициент масштабирования m3 = 1;
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
коэффициент масштабирования m3 = 1;
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
коэффициент масштабирования m3 = 1;
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
коэффициент масштабирования m1 = 0,513342.
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
1. Формирование биквадратных звеньев и расположение их в каскадной структуре.
Вследствие полученных результатов имеет место следующее соотношение добротностей полюсов:
поэтому в таком порядке (слева направо) в каскадной структуре и должны располагаться соответствующие биквадратные звенья, которые формируются из полюсов и нулей, наиболее близко расположенных друг к другу, т. е. имеющих близкие добротности. Поскольку в исследуемом случае все нули лежат на единичной окружности, то их радиусы равны единице, и выбор нулей в пары с полюсами целесообразно производить только по принципу близкого расположения, начиная с полюса максимальной добротности. Тогда для формирования биквадратных звеньев получим следующие пары полюсов и нулей:
коэффициент масштабирования m3 = 1;
коэффициент масштабирования m2 = 0,66342;
коэффициент масштабирования m1 = 0,513342.
Передаточная функция фильтра с учётом коэффициентов масштабирования имеет вид:
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
2. Оптимизация структуры звеньев с целью достижения минимума собственного шума, приведённого к выходу.
Замечаем, что при неканонической структуре всех звеньев собственный шум фильтра составляет ≈ –103,75 дБ. Путём простого перебора вариантов получаем, что меньший шум (≈ –104,2 дБ) достигается, если второе звено представить в канонической форме – в результате имеем экономию двух регистров памяти. Следовательно, каскадная структура будет выглядеть следующим образом (рис. 1):
прямая структура – каноническая структура – прямая структура
Рис. 1. Структурная схема фильтра
Третий учебный вопрос

Кафедра №2, ВАС
3. Запись передаточной функции с учётом коэффициентов масштабирования.
С целью уменьшения числа умножителей и, как следствие, уменьшения собственного шума фильтра коэффициенты масштабирования учитываются в предыдущем звена путём умножения коэффициентов его числителя этого звена на этот коэффициент масштабирования. Это означает, что коэффициенты числителя первого звена должны быть умножены на произведение коэффициентов масштабирования первого и второго звеньев:
m = m1∙ m2 = 0,513342∙0,66342 = 0,34056134964 ≈ 0,340562.
Поэтому передаточная функция первого звена получает вид:
а вся передаточная функция оказывается такой:
Третий учебный вопрос

Четвертый учебный вопрос
Кафедра №2, ВАС
Система разностных уравнений