Физические основы механики

Кинематика. Основные понятия и величины.
Предмет кинематики: Описание движения и связи между величинами, характеризующими это движение
(описание, но пока не объяснение!)
Основные понятия и величины кинематики:
Материальная точка – объект, размерами и структурой которого в данной задаче можно пренебречь
Координаты (x, y, z) – определяют положение точки в пространстве
Система отсчета = система координат + часы + тело отсчета
Радиус-вектор материальной точки ( r )
Перемещение (Δr)
Пройденный путь (S)
Скорость ( v )
Ускорение ( a )
Кинематика материальной точки

Материальная точка, ее координаты, система отсчета
Y
X
Z
z(t)
y(t)
x(t)
0
чч:мм:сс
t
r(t) – радиус -вектор
В декартовой системе отсчета:
координаты – проекции положения
точки на координатные оси.
Таких осей может быть три.

Y
X
Z
z(t)
y(t)
x(t)
0
чч:мм:сс
r(t) – радиус -вектор
Радиус вектор материальной точки r - направленный отрезок,
проведенный из начала координат в данную точку пространства.
Орты (ex, ey, ez) - единичные безразмерные векторы, направленные вдоль осей системы координат.
ey
ex
ez
r (t)= {x(t), y(t), z(t)}
Т
r = xex + yey + zez , где x, y, z - численные значения соответствующих координат.

Перемещение, пройденный путь S
X
x(t)
Δr
S
Перемещение Δr - это приращение радиус-вектора r за некоторое время (вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки)
Пройденный путь S –
длина траектории
движения точки
Y
X
Z
0
чч:мм:сс
r(t)
Δr = r(t+Δt) - r(t)
r(t+Δt)

Средняя скорость
Δr / Δt =
Средняя скорость (вектор)
S / Δt = <|V|>
Средний модуль скорости.
Величина заведомо не отрицательная.
X
x(t)
Δr
S
Y
X
Z
0
чч:мм:сс
r(t)
r(t+Δt)

Y
X
Δr
S
r(t)
Мгновенная скорость (вектор)
r(t+Δt)
Z
0
чч:мм:сс
V(t) = dr(t)/dt - скорость (вектор)
- производная от функции r(t)
(вектор) по времени t

Y
X
z(t)
y(t)
x(t) x(t+Δt)
Δr
S
r(t)
r(t+Δt)
Z
0
чч:мм:сс
Vx = dX(t)/dt
Vy = dY(t)/dt
Vz = dZ(t)/dt
z(t+Δt)
y(t+Δt)
0
ey
ex
ez
V(t) = dr(t)/dt = Vxex + Vyey + Vzez , где Vx,Vy,Vz - численные значения координатных компонент мгновенной скорости, равные производным от соответствующих координат по времени:
Мгновенная скорость в декартовой системе координат
Скорость, как вектор, раскладывается на координатные компоненты:
Модуль скорости равен

X
Δr
S
Y
X
Z
0
чч:мм:сс
r(t0)
r(t)
V(t)
Следствие (в наших обозначениях): dr = V(t)dt => Δr = r(t) - r(t0) =
t
= V(t)dt
t0
Для каждой координатной компоненты ее изменение дается интегралом:
Δx = x(t0)-x(t) =
t
= Vx(t)dt
t0
То же и для y(t), z(t)
(записать самостоятельно – задание коллоквиума)
х(t0) x(t)
Связь скорости и перемещения
V(t) = dr(t)/dt - скорость есть производная от перемещения по времени

Vх
t
0
Геометрический смысл этого интеграла: изменение координаты
Δx = x(t0)-x(t)
численно равно площади под графиком функции Vх(t) между точками t0 и t .
Часть площади под осью абсцисс при этом надо учитывать с отрицательным знаком
t0
t
Связь скорости и перемещения – графики

t
0
За большее время от t0 до t
t
S = |V(t)|dt
t0
Геометрический смысл этого интеграла: пройденный путь S численно
равен площади под графиком функции модуля скорости |V(t)| между точками t0 и t
Это заведомо не отрицательная величина
t0
t
Пройденный путь S - длина траектории материальной точки. За малое время dt: dS = |V(t)|dt
t
|V|
V(t)

V(t)
V(t+Δt)
V(t)
V(t+Δt)
V(t+Δt) - V(t) = ΔV
Другими словами: ускорение это скорость изменения вектора скорости точки.
Ускорение

V(t)
V(t+Δt)
x
y
В декартовой системе координат ускорение выражается через его проекции на координатные оси и векторы - орты:
а(t) = аxex + аyey + аzez
ex
ey
где аx = dVx(t)/dt = d2X(t)/dt2
аy = dVy(t)/dt = d2Y(t)/dt2
аz = dVz(t)/dt = d2Z(t)/dt2
Модуль ускорения:
а = аx2 + аy2 + аz2
Ускорение в декартовой системе координат

V(t)
V(t+Δt)
а(t)
аt(t)
аn(t)
ΔV
Пусть материальная точка движется по некоторой траектории с меняющейся по величине и направлению скоростью.
Вектор скорости V(t) всегда направлен по касательной к траектории.
Приращение вектора скорости ΔV и , соответственно, вектор ускорения а(t) могут быть направлены как угодно под любым углом к вектору скорости.
Принято разделять две компоненты ускорения:
- тангенциальное аt, продольное направлению вектора скорости V(t)
- нормальное аn, перпендикулярное направлению вектора скорости V(t)
Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости
Нормальное ускорение - за изменение направления вектора скорости
Нормальное и тангенциальное ускорение

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и равно:
аt = d|V(t)|/dt
Оно может быть отрицательным (модуль скорости убывает) или положительным (модуль скорости растет)
Тангенциальное ускорение - это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Эту проекцию можно найти с помощью скалярного произведения векторов ускорения и скорости:
аt = (а, V)/V = а V cos(α) / V = а cos(α)
Проделаем некоторые математические преобразования
(а ,V) = ((dV/dt), V) = 1/2 d(V, V)/dt = 1/2 d(V2)/dt = V dV/dt => аt = dV/dt
Тангенциальное ускорение

V(t)
а(t)
аt(t)
аn(t)
Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости и отвечает за изменение направления вектора скорости.
Для любой точки криволинейной траектории можно указать вписанную окружность, максимально близко совпадающую с траекторией вблизи данной точки.
Радиус этой окружности R называется радиусом кривизны траектории в данной точке.
R
Из курса элементарной физики известно, что материальная точка, двигаясь по дуге окружности радиуса R, испытывает нормальное (перпендикулярное скорости) ускорение, равное по величине аn = V2/R
Нормальное ускорение
Задание коллоквиума – привести полный вывод формул этого слайда

Абсолютно твердое тело: протяженный объект (система материальных точек) расстояния между которыми не изменяются в процессе движения
Виды движения твердого тела
1. Поступательное движение
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Движение тела с одной закрепленной точкой
(примеры рассмотрим позже)
4. Плоское движение (см. школьный курс)
5. Произвольное движение твердого тела
Абсолютно твердое тело в кинематике

При таком движении достаточно следить только за углом поворота тела по отношению к исходному положению. Все его точки движутся по дугам концентрических окружностям. Такое движение имеет всего 1 степень свободы.
Для описания вращательного движения вводят понятие угловой скорости:
ω = dφ/dt (радиан/с или с-1)
Движение твердого тела вокруг неподвижной оси
В общем случае, при произвольном движении, угловую скорость следует рассматривать как вектор, направленный вдоль оси вращения - по правилу правого винта (в нашем примере вверх).
Такие вектора - связанные с направлением вращения - в математике называются псевдо-векторами

Связь угловой и линейной скорости
Линейная скорость материальной точки, отстоящей от оси вращения на расстояние R, связана с угловой простым соотношением:
V = dr/dt = ω х r = [ω,r]
Конечное угловое перемещение – не вектор!
Задание коллоквиума:
– привести обоснование этого утверждения;
– изобразить вектор скорости на рисунке.

Для описания неравномерного вращательного движения вводят понятие углового ускорения:
β = dω/dt (радиан/с2 или с-2 )
Вектор углового ускорения продолен оси вращения, а вектор тангенциального ускорения, естественно, лежит в плоскости вращения точки.
В векторном представлении тангенциальное линейное ускорение определяется векторным произведением:
аt = [β, r]
Полное линейное ускорение точки по модулю определяется ее тангенциальным и нормальным ускорениями:
а = аt2 + аn2 = (β r sin(α))2 + (V2/R)2 = R β2 + ω4
Движение твердого тела вокруг неподвижной оси