Физические основы механики

Содержание

Слайд 2

Кинематика. Основные понятия и величины.
Предмет кинематики: Описание движения и связи между

Кинематика. Основные понятия и величины. Предмет кинематики: Описание движения и связи между
величинами, характеризующими это движение
(описание, но пока не объяснение!)
Основные понятия и величины кинематики:
Материальная точка – объект, размерами и структурой которого в данной задаче можно пренебречь
Координаты (x, y, z) – определяют положение точки в пространстве
Система отсчета = система координат + часы + тело отсчета
Радиус-вектор материальной точки ( r )
Перемещение (Δr)
Пройденный путь (S)
Скорость ( v )
Ускорение ( a )

Кинематика материальной точки

Слайд 3

Материальная точка, ее координаты, система отсчета

Y

X

Z

z(t)

y(t)

x(t)

0

чч:мм:сс

t

r(t) – радиус -вектор

В декартовой системе

Материальная точка, ее координаты, система отсчета Y X Z z(t) y(t) x(t)
отсчета:
координаты – проекции положения
точки на координатные оси.
Таких осей может быть три.

Слайд 4

Y

X

Z

z(t)

y(t)

x(t)

0

чч:мм:сс

r(t) – радиус -вектор

Радиус вектор материальной точки r - направленный отрезок,
проведенный

Y X Z z(t) y(t) x(t) 0 чч:мм:сс r(t) – радиус -вектор
из начала координат в данную точку пространства.

Орты (ex, ey, ez) - единичные безразмерные векторы, направленные вдоль осей системы координат.

ey

ex

ez

r (t)= {x(t), y(t), z(t)}

Т

r = xex + yey + zez , где x, y, z - численные значения соответствующих координат.

Слайд 5

Перемещение, пройденный путь S

X

x(t)

Δr

S

Перемещение Δr - это приращение радиус-вектора r за некоторое

Перемещение, пройденный путь S X x(t) Δr S Перемещение Δr - это
время (вектор, соединяющий начальное и конечное положение материальной точки)

Пройденный путь S –
длина траектории
движения точки

Y

X

Z

0

чч:мм:сс

r(t)

Δr = r(t+Δt) - r(t)

r(t+Δt)

Слайд 6

Средняя скорость

Δr / Δt =
Средняя скорость (вектор)

S / Δt = <|V|>
Средний

Средняя скорость Δr / Δt = Средняя скорость (вектор) S / Δt
модуль скорости.
Величина заведомо не отрицательная.

X

x(t)

Δr

S

Y

X

Z

0

чч:мм:сс

r(t)

r(t+Δt)

Слайд 7

Y

X

Δr

S

r(t)

Мгновенная скорость (вектор)

r(t+Δt)

Z

0

чч:мм:сс

V(t) = dr(t)/dt - скорость (вектор)
- производная от функции

Y X Δr S r(t) Мгновенная скорость (вектор) r(t+Δt) Z 0 чч:мм:сс
r(t)
(вектор) по времени t

Слайд 8

Y

X

z(t)

y(t)

x(t) x(t+Δt)

Δr

S

r(t)

r(t+Δt)

Z

0

чч:мм:сс

Vx = dX(t)/dt
Vy = dY(t)/dt
Vz = dZ(t)/dt

z(t+Δt)

y(t+Δt)

0

ey

ex

ez

V(t) = dr(t)/dt = Vxex

Y X z(t) y(t) x(t) x(t+Δt) Δr S r(t) r(t+Δt) Z 0
+ Vyey + Vzez , где Vx,Vy,Vz - численные значения координатных компонент мгновенной скорости, равные производным от соответствующих координат по времени:

Мгновенная скорость в декартовой системе координат

Скорость, как вектор, раскладывается на координатные компоненты:

Модуль скорости равен

Слайд 9

X

Δr

S

Y

X

Z

0

чч:мм:сс

r(t0)

r(t)

V(t)

Следствие (в наших обозначениях): dr = V(t)dt => Δr = r(t) -

X Δr S Y X Z 0 чч:мм:сс r(t0) r(t) V(t) Следствие
r(t0) =
t
= V(t)dt
t0

Для каждой координатной компоненты ее изменение дается интегралом:
Δx = x(t0)-x(t) =
t
= Vx(t)dt
t0
То же и для y(t), z(t)
(записать самостоятельно – задание коллоквиума)

х(t0) x(t)

Связь скорости и перемещения

V(t) = dr(t)/dt - скорость есть производная от перемещения по времени

Слайд 10


t

0

Геометрический смысл этого интеграла: изменение координаты
Δx = x(t0)-x(t)
численно равно площади

Vх t 0 Геометрический смысл этого интеграла: изменение координаты Δx = x(t0)-x(t)
под графиком функции Vх(t) между точками t0 и t .
Часть площади под осью абсцисс при этом надо учитывать с отрицательным знаком

t0

t

Связь скорости и перемещения – графики

Слайд 11

t

0

За большее время от t0 до t
t
S = |V(t)|dt

t 0 За большее время от t0 до t t S =

t0

Геометрический смысл этого интеграла: пройденный путь S численно
равен площади под графиком функции модуля скорости |V(t)| между точками t0 и t
Это заведомо не отрицательная величина

t0

t

Пройденный путь S - длина траектории материальной точки. За малое время dt: dS = |V(t)|dt

t

|V|

V(t)

Слайд 12

V(t)

V(t+Δt)

V(t)

V(t+Δt)

V(t+Δt) - V(t) = ΔV

Другими словами: ускорение это скорость изменения вектора скорости

V(t) V(t+Δt) V(t) V(t+Δt) V(t+Δt) - V(t) = ΔV Другими словами: ускорение
точки.

Ускорение

Слайд 13

V(t)

V(t+Δt)

x

y

В декартовой системе координат ускорение выражается через его проекции на координатные оси

V(t) V(t+Δt) x y В декартовой системе координат ускорение выражается через его
и векторы - орты:
а(t) = аxex + аyey + аzez

ex

ey

где аx = dVx(t)/dt = d2X(t)/dt2
аy = dVy(t)/dt = d2Y(t)/dt2
аz = dVz(t)/dt = d2Z(t)/dt2

Модуль ускорения:
а = аx2 + аy2 + аz2

Ускорение в декартовой системе координат

Слайд 14

V(t)

V(t+Δt)

а(t)

аt(t)

аn(t)

ΔV

Пусть материальная точка движется по некоторой траектории с меняющейся по величине и

V(t) V(t+Δt) а(t) аt(t) аn(t) ΔV Пусть материальная точка движется по некоторой
направлению скоростью.

Вектор скорости V(t) всегда направлен по касательной к траектории.

Приращение вектора скорости ΔV и , соответственно, вектор ускорения а(t) могут быть направлены как угодно под любым углом к вектору скорости.

Принято разделять две компоненты ускорения:
- тангенциальное аt, продольное направлению вектора скорости V(t)
- нормальное аn, перпендикулярное направлению вектора скорости V(t)

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости
Нормальное ускорение - за изменение направления вектора скорости

Нормальное и тангенциальное ускорение

Слайд 15

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и равно:
аt = d|V(t)|/dt
Оно может

Тангенциальное ускорение отвечает за изменение модуля скорости и равно: аt = d|V(t)|/dt
быть отрицательным (модуль скорости убывает) или положительным (модуль скорости растет)

Тангенциальное ускорение - это проекция вектора ускорения на направление вектора скорости. Эту проекцию можно найти с помощью скалярного произведения векторов ускорения и скорости:
аt = (а, V)/V = а V cos(α) / V = а cos(α)

Проделаем некоторые математические преобразования
(а ,V) = ((dV/dt), V) = 1/2 d(V, V)/dt = 1/2 d(V2)/dt = V dV/dt => аt = dV/dt

Тангенциальное ускорение

Слайд 16

V(t)

а(t)

аt(t)

аn(t)

Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости и отвечает за изменение направления вектора

V(t) а(t) аt(t) аn(t) Нормальное ускорение направлено перпендикулярно вектору скорости и отвечает
скорости.

Для любой точки криволинейной траектории можно указать вписанную окружность, максимально близко совпадающую с траекторией вблизи данной точки.

Радиус этой окружности R называется радиусом кривизны траектории в данной точке.

R

Из курса элементарной физики известно, что материальная точка, двигаясь по дуге окружности радиуса R, испытывает нормальное (перпендикулярное скорости) ускорение, равное по величине аn = V2/R

Нормальное ускорение

Задание коллоквиума – привести полный вывод формул этого слайда

Слайд 17

Абсолютно твердое тело: протяженный объект (система материальных точек) расстояния между которыми не

Абсолютно твердое тело: протяженный объект (система материальных точек) расстояния между которыми не
изменяются в процессе движения

Виды движения твердого тела

1. Поступательное движение
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Движение тела с одной закрепленной точкой
(примеры рассмотрим позже)
4. Плоское движение (см. школьный курс)
5. Произвольное движение твердого тела

Абсолютно твердое тело в кинематике

Слайд 18

При таком движении достаточно следить только за углом поворота тела по отношению

При таком движении достаточно следить только за углом поворота тела по отношению
к исходному положению. Все его точки движутся по дугам концентрических окружностям. Такое движение имеет всего 1 степень свободы.

Для описания вращательного движения вводят понятие угловой скорости:
ω = dφ/dt (радиан/с или с-1)

Движение твердого тела вокруг неподвижной оси

В общем случае, при произвольном движении, угловую скорость следует рассматривать как вектор, направленный вдоль оси вращения - по правилу правого винта (в нашем примере вверх).

Такие вектора - связанные с направлением вращения - в математике называются псевдо-векторами

Слайд 19

Связь угловой и линейной скорости

Линейная скорость материальной точки, отстоящей от оси вращения

Связь угловой и линейной скорости Линейная скорость материальной точки, отстоящей от оси
на расстояние R, связана с угловой простым соотношением:
V = dr/dt = ω х r = [ω,r]

Конечное угловое перемещение – не вектор!
Задание коллоквиума:
– привести обоснование этого утверждения;
– изобразить вектор скорости на рисунке.

Слайд 20

Для описания неравномерного вращательного движения вводят понятие углового ускорения:
β = dω/dt (радиан/с2

Для описания неравномерного вращательного движения вводят понятие углового ускорения: β = dω/dt
или с-2 )

Вектор углового ускорения продолен оси вращения, а вектор тангенциального ускорения, естественно, лежит в плоскости вращения точки.

В векторном представлении тангенциальное линейное ускорение определяется векторным произведением:
аt = [β, r]

Полное линейное ускорение точки по модулю определяется ее тангенциальным и нормальным ускорениями:
а = аt2 + аn2 = (β r sin(α))2 + (V2/R)2 = R β2 + ω4

Движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Имя файла: Физические-основы-механики.pptx
Количество просмотров: 52
Количество скачиваний: 0