Кинематика. Курс лекций по теоретической механике

Содержание
Лекция 4. Плоскопараллельное движение твердого тела. Разложение плоского движения на поступательное и вращательное движения. Уравнения движения. Теорема о сложении скоростей. Следствия из теоремы. Мгновенный центр скоростей (МЦС).
Лекция 5. Примеры использования МЦС для определения скоростей. Теорема о сложении ускорений. Мгновенный центр ускорений (МЦУ). Примеры использования теоремы о сложении ускорений и МЦУ для определения ускорений
Рекомендуемая литература
1. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Ч.1. М.: Высшая школа. 1977 г. 368 с.
2. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука. 1986 г. 416 с.
3. Сборник заданий для курсовых работ /Под ред. А.А. Яблонского. М.:Высшая школа. 1985 г. 366 с.

Лекция 4
Плоскопараллельное движение твердого тела – движение при котором каждая точка тела движется в в плоскости параллельной некоторой неподвижной плоскости. Сечение тела одной из таких плоскостей есть плоская фигура, остающаяся в этой плоскости при движении тела.
Теорема о плоскопараллельном движении твердого тела – плоскопаралллельное движение твердого тела однозначным образом определяется движением плоской фигуры, образованной сечением тела одной из параллельных плоскостей.
Выберем две точки на произвольных двух сечениях тела, находящиеся на одном перпендикуляре к этим плоскостям:
Проведем к каждой точке радиусы-векторы из неподвижной точки O и свяжем их между собой вектором
M1M2:
При плоском движении тела вектор M1M2 не изменяется по величине, остается параллельным самому себе (движется поступательно) и, следовательно, точки этого вектора описывают тождественные траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и ускорения:
Таким образом, при плоском движении тела движение каждой точки одной из плоских фигур определяет движение соответствующих точек,
находящихся во всех других смежных параллельных плоскостях.
Следствие: Поскольку положение плоской фигуры однозначно определяется положением ее двух точек или отрезка прямой, проведенной через эти точки, то плоскопараллельное движение твердого тела определяется движением прямолинейного отрезка, принадлежащего одному из сечений тела параллельными плоскостями.
Разложение плоскопараллельного движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения – Плоскую фигуру или отрезок прямой можно перевести из одного положения в другое бесчисленным множеством способов, меняя последовательность выполнения поступательного и вращательного движения между собой, а также выбирая различные траектории и точки в качестве полюса:
Таким образом, плоскопараллельное движение состоит из двух движений: поступательное и вращательное, и его всегда можно разложить на эти два движения. При этом поступательное зависит от выбора полюса и траектории движения, а вращательное, характеризуемое поворотом вокруг выбранного полюса, не зависит от выбора полюса (для любого полюса величина угла поворота и направление вращения – одинаковы).
A
B
B1
A2
B2
A1
Уравнение движения плоской фигуры: Выбирая в качестве полюса любую точку, например, A, поступательная часть движения будет описываться уравнениями движения этой точки. Вращательная часть движения описывается уравнением изменения угла поворота вокруг полюса:
Уравнения движения любой точки плоской фигуры, положение
которой задается координатами локальной системы отсчета, связанной с фигурой:
10

Лекция 4 (продолжение 4.2)
Независимость угловой скорости и углового ускорения плоской фигуры от выбора полюса – Выберем два произвольных прямолинейных отрезка, изображающих положение плоской фигуры и два полюса на этих отрезках:
Углы наклона отрезков к горизонтальной оси различны и связаны между собой соотношением:
Продифференцируем это соотношение:
Отсюда следует, что угловые скорости двух отрезков равны:
После повторного дифференцирования следует,
что угловые ускорения двух отрезков также равны:
Таким образом, угловая скорость и угловое ускорение
плоской фигуры не зависят от выбора полюса и их можно представить в виде векторов, перпендикулярных плоскости фигуры:
Теорема о сложении скоростей – Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скоростей полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.
Радиусы-векторы точек A и B связаны между собой соотношением:
Продифференцируем это соотношение:
Второе слагаемое есть вращательная
скорость точки B вокруг полюса A:
Таким образом, скорость точки B равна геометрической сумме скорости полюса A и вращательной скорости точки B вокруг полюса :
Следствие 1 – Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось,
проходящую через эти точки равны .
x1
Спроецируем векторное соотношение на ось x1:
Следствие 2 – Концы векторов скоростей точек плоской фигуры, лежащих на одной прямой, также
лежат на одной прямой и делят эту прямую на отрезки пропорциональные расстояниям между точками.
Концы векторов вращательных скоростей точек B и A лежат на одной прямой и делят ее на отрезки
пропорциональные расстояниям между точками:
Концы векторов скоростей полюса A лежат, изображенных
в точках B и C также лежат на одной прямой.
11

Лекция 4 (продолжение 4.3)
Мгновенный центр скоростей (МЦС) – При движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка, жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю.
Пусть известна скорость одной из точек фигуры и угловая скорость вокруг этой точки:
Запишем векторное соотношение для скорости некоторой точки P согласно теоремы о сложении скоростей:
Зададим значение скорости этой точки P равной нулю:
Тогда получаем:
Это позволяет найти положение МЦС (точки P), а именно: МЦС должен находиться на перпендикуляре к скорости точки A, отложенном в сторону угловой скорости, на расстоянии:
Т.е. вращательная скорость искомой точки должна быть равна по модулю скорости точки A, параллельна этой скорости и направлена в противоположную сторону.
Если положение МЦС найдено, скорость любой точки плоской фигуры может быть легко определена посредством выбора полюса в МЦС . В этом случае векторное выражение теоремы о сложении скоростей вырождается в известную зависимость скорости от расстояния до центра вращения:
Другими словами, можно утверждать, что в любой момент времени тело
не совершает никакого другого движения,
кроме как вращательного движения вокруг МЦС.
12

Лекция 5
Примеры использования МЦС для определения скоростей точек плоской фигуры – Поскольку при движении плоской фигуры в каждый момент времени существует точка (МЦС), жестко связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нулю, то при определении скоростей эту точку и следует выбирать в качестве полюса, играющего роль центра вращения в данный момент времени.
Ниже рассмотрим процедуру определения скоростей на примерах:
1
Дано: vA, положения точек A, B, C,проскальзывание отсутствует.
Найти: vB, vC
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
(нет проскальзывания и точка с нулевой скоростью
совпадает с точкой контакта колеса и неподвижной
поверхностью качения).
2) Определяем угловую скорость:
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону вектора линейной скорости vA.
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
2
Дано: vA, ω ,положения точек A, B, C.
Найти: vB, vC
1) МЦС находится на перпендикуляре к вектору vA
2) Определяем расстояние до МЦС:
3) Соединяем точки B и C с МЦС и определяем скорости этих точек:
Расстояние AP откладываем в сторону дуговой
стрелки угловой скорости. Дуговую стрелку
угловой скорости изображаем вокруг МЦС.
Векторы линейных скоростей vB и vC направлены
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
3
Дано: vA, vB, положения точек A, B, C.
Найти: vC
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к векторам vA ,vB,
2) Определяем угловую скорость:
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейных скоростей vA ,vB.
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:
4
Дано: vA, траектория точки B, положения точек A, B, C.
Найти: vC,
МЦС находится на пересечении перпендикуляров
к вектору vA и касательной к траектории точки B.
2) Определяем угловую скорость:
Вектор линейной скорости vC направлен
в сторону дуговой стрелки угловой скорости.
Дуговая стрелка угловой скорости направлена
в сторону векторов линейной скорости vA .
3) Соединяем точку C с МЦС и определяем скорость
этой точки:
13