Колебания. Гармонические колебания. Затухающие и вынужденные колебания

Энергия гармонического осциллятора
Свободные колебания любого осциллятора в отсутствие трения будут гармоническими, если действующая в нем сила (или момент силы) является квазиупругой, т. е. силой, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.
Рассмотрим материальную точку массы m, колеблющейся под действием квазиупругой силы Fх = -ϰх. Потенциальная и кинетическая энергии частицы имеют в данном случае такой вид:
(5.12)

Из этих соотношений видно, что значения U и К сдвинуты друг относительно друга по фазе на π/2: когда U максимальна, К минимальна, и наоборот. При этом полная энергия сохраняется:
(5.13)
Принимая во внимание (5.13), формулы (5.12) можно переписать так:
(5.14)
Из графиков видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

Сложение колебаний одного направления
Можно изобразить колебания графически с помощью вектора-амплитуды а, вращающегося с угловой скоростью ω против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор а образует с осью Х угол α, то проекция вектора а на ось Х изменяется со временем по гармоническому закону. Такой способ представления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно использовать при сложении колебаний одного направления.
1) Случай, когда ω1 = ω2 = ω. В этом случае результирующее смещение
Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векторов а1 и а2, сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы векторов а1 + а2 = а. Поскольку векторы и вращаются с одной и той же угловой скоростью ω, с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Значит результирующее колебание является тоже гармоническим и имеет вид

где а и α находим из рисунка
Разность фаз δ в данном случае не зависит от времени и равна
При сложении синфазных колебаний (δ = 0) а максимально, при сложении же «противофазных» колебаний (δ = π) а минимально:

2) Случай, когда | ω1 = ω2 | << ω1 и ω2 . Поскольку теперь векторы а1 и а2 вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора а будет медленно изменяться от амакс до амин. Результирующее колебание уже не является гармоническим, однако его все же можно рассматривать как гармоническое, но с медленно и периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания называют биениями. Для случая а1 = а2 получим график:
Амплитуда колебаний описывается той же формулой, что в случае 1, но входящая в нее разность фаз зависит от времени:
Промежуток времени между соседними моментами, когда амплитуда а максимальна, называют периодом биений τб.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний одинаковы. Пусть координаты х и у частицы изменяются по закону
(5.15)
Траекторией частицы при этом является эллипс, вид которого определяется отношением амплитуд а и b и разностью фаз δ. Рассмотрим четыре частных случая:
а) δ = 0, у = (b/a)x б) δ = π, у = – (b/a)x в) δ = π/2, х2/а2 +у2/b2 =1 г) δ = 3π/2 (–π/2)

Фигуры Лиссажу
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы и относятся как целые числа, то траектории результирующего движения имеют более сложные формы. Их называют фигурами Лиссажу. На рисунке – пример для отношения частот у : х = 3 : 2. При сложении взаимно перпендикулярных колебаний полная энергия
складывается из энергий каждого колебания и равна, согласно (5.13),
(5.16)
(5.17)

Уравнение затухающих колебаний

Характеристики затухания

Уравнение вынужденных колебаний
Чтобы возбудить в системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему переменной внешней силой F, изменяющейся в простейшем случае по гармоническому закону Fх = Fmcosωt. Возникающие при этом колебания и называют вынужденными. Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновременно три силы: квазиупругая (-ϰх), сила сопротивления (-rх) и внешняя, вынуждающая (Fx). Согласно основному уравнению динамики,
(5.27)
или в более удобной форме
(5.28)
где