Слайд 2200
ВОПРОСЫ
23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Векторная диаграмма.
24. Сложение колебаний одного направления
![200 ВОПРОСЫ 23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Векторная диаграмма. 24. Сложение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-1.jpg)
и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный маятник.
Слайд 3200
23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Графическое представление гармонических колебаний. Векторная диаграмма.
![200 23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Графическое представление гармонических колебаний. Векторная диаграмма. Фазовая плоскость.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-2.jpg)
Фазовая плоскость.
Слайд 4200
Колебания – процессы отличающиеся той или иной степенью повторяемости.
![200 Колебания – процессы отличающиеся той или иной степенью повторяемости.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-3.jpg)
Слайд 5200
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Закон кинематики гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются по
![200 Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: Закон кинематики гармонических колебаний – колебаний, которые](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-4.jpg)
закону синуса или косинуса (решение дифференциального уравнения):
Слайд 6200
x – смещение или колеблющаяся величина,
A – амплитуда колебаний – максимальное смещение
![200 x – смещение или колеблющаяся величина, A – амплитуда колебаний –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-5.jpg)
или максимальное значение колеблющейся величины,
(ω0t + α) – величина, стоящая под знаком косинуса или синуса – фаза колебаний,
Слайд 7200
ω0 – собственная частота, она же циклическая частота – количество колебаний
![200 ω0 – собственная частота, она же циклическая частота – количество колебаний](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-6.jpg)
за 2π секунды,
α – начальная фаза (для момента времени t = 0),
T – период, время, за которое фаза получает приращение 2π или время одного колебания (цикла),
Слайд 8200
Векторная диаграмма
(векторное изображение колебаний)
Возьмём ось X. Из точки О отложим вектор a
![200 Векторная диаграмма (векторное изображение колебаний) Возьмём ось X. Из точки О](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-7.jpg)
под углом α к оси. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси X в пределах от –a до +a, по закону x = a cos(ω0t + α).
Слайд 10200
Фазовая плоскость
На фазовой плоскости для координат используют значения колеблющейся величины (ось абсцисс
![200 Фазовая плоскость На фазовой плоскости для координат используют значения колеблющейся величины](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-9.jpg)
– X) и её скорость (ось ординат – Y).
Слайд 11200
Уравнение траектории фазовой кривой
X
X
![200 Уравнение траектории фазовой кривой X X](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-10.jpg)
Слайд 13200
Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0
![200 Ангармонические колебания. Осциллятор с большим затуханием. β >> ω0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-12.jpg)
Слайд 14200
Предельный случай β = ω0
Этот случай в технике важен тем, что при
![200 Предельный случай β = ω0 Этот случай в технике важен тем,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-13.jpg)
таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия система может вернуться в исходное состояние. (Из-за силы трения система может не вернуться в исходное положение)
Слайд 16200
24. Сложение колебаний одного направления и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
![200 24. Сложение колебаний одного направления и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Частные случаи.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-15.jpg)
Частные случаи.
Слайд 17200
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний
x1 = a1 cos(ω0t + φ1), x2
![200 Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний x1 = a1 cos(ω0t + φ1),](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-16.jpg)
= a2 cos(ω0t + φ2).
В соответствии с теоремой косинусов и рисунком запишем амплитуду результирующего колебания
a2 = a12 + a22 + 2a1a2cos(φ2 – φ1).
Слайд 19200
Фаза результирующего колебания вычисляется следующим образом
![200 Фаза результирующего колебания вычисляется следующим образом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-18.jpg)
Слайд 20200
Если φ2 ≠ φ1 то говорим о векторном сложении векторов,
Если φ2
![200 Если φ2 ≠ φ1 то говорим о векторном сложении векторов, Если](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-19.jpg)
= φ1 то говорим о скалярном сложении векторов:
x = x1 + x2 = (a1 + a2) cos(ω0t + φ).
Слайд 22200
Биения – колебания с пульсирующей амплитудой, которые получаются в результате сложения двух
![200 Биения – колебания с пульсирующей амплитудой, которые получаются в результате сложения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-21.jpg)
колебаний, обладающими незначительно отличающимися частотами.
Слайд 24200
Складываемые колебания
x1 = a cos(ωt), x2 = a cos((ω + Δω)t),
Результирующее
![200 Складываемые колебания x1 = a cos(ωt), x2 = a cos((ω +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-23.jpg)
колебание
x=x1+x2=2acos(Δωt/2)cos((ω+Δω/2)t)≈ ≈ 2a cos(Δωt/2) cos(ωt).
Амплитуда результирующего колебания и период пульсаций
Слайд 25200
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Запишем уравнения колебаний в следующей форме:
x = a
![200 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Запишем уравнения колебаний в следующей форме: x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-24.jpg)
cos(ωt), y = b cos(ωt + α).
Это параметрическая форма записи.
Слайд 26200
Из этой формы можно получить следующую запись
Это уравнение эллипса
![200 Из этой формы можно получить следующую запись Это уравнение эллипса](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-25.jpg)
Слайд 27200
В зависимости от фазы α получаем тот или иной вид колебаний. Рассмотрим
![200 В зависимости от фазы α получаем тот или иной вид колебаний.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-26.jpg)
три варианта.
1) α = 0:
Слайд 29200
1) α = ±π/2:
Если a = b, то получаем окружность:
х2 +
![200 1) α = ±π/2: Если a = b, то получаем окружность:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-28.jpg)
у2 = R2.
Слайд 30200
Если α = + π/2, то точка на траектории будет двигаться по
![200 Если α = + π/2, то точка на траектории будет двигаться по часовой стрелке.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-29.jpg)
часовой стрелке.
Слайд 31200
Если α = − π/2, то точка на траектории будет двигаться против
![200 Если α = − π/2, то точка на траектории будет двигаться против часовой стрелки.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-30.jpg)
часовой стрелки.
Слайд 32200
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными амплитудами и частотами ωx ≠
![200 При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными амплитудами и частотами ωx](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-31.jpg)
ωy и неодинаковыми начальными фазами возникают сложные результирующие колебания, которые называют фигурами Лиссажу.
Слайд 33200
Если соотношение частот
и разность фаз складываемых колебаний α = π/2, наблюдается
![200 Если соотношение частот и разность фаз складываемых колебаний α = π/2, наблюдается кривая, напоминающая восьмерку.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-32.jpg)
кривая, напоминающая восьмерку.
Слайд 34200
При отношении круговых частот
и разности фаз складываемых колебаний α = π/2
![200 При отношении круговых частот и разности фаз складываемых колебаний α =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-33.jpg)
наблюдается более сложная кривая.
Слайд 35200
Замечание 1: Число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, образованного амплитудами, равно
![200 Замечание 1: Число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, образованного амплитудами, равно величине отношения частот.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-34.jpg)
величине отношения частот.
Слайд 36200
Замечание 2: Если частоты складываемых колебаний кратны nω и mω, тогда уравнения
![200 Замечание 2: Если частоты складываемых колебаний кратны nω и mω, тогда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-35.jpg)
взаимно перпендикулярных колебаний запишутся в виде
Слайд 37200
Траектория результирующего колебания будет замкнутой, её форма зависит от амплитуд a и
![200 Траектория результирующего колебания будет замкнутой, её форма зависит от амплитуд a](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-36.jpg)
b, круговых частот nω и mω и значений начальных фаз α1 и α2.
Слайд 38200
Комплексные числа
Представление колебаний в комплексной форме
Комплексное число
z = x + iy,
x, y
![200 Комплексные числа Представление колебаний в комплексной форме Комплексное число z =](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-37.jpg)
– вещественные числа,
i2 = – 1 – мнимая единица.
Слайд 40200
x = Re z – вещественная часть,
y = Im z – мнимая
![200 x = Re z – вещественная часть, y = Im z](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-39.jpg)
часть,
z* = x – iy – комплексно сопряжённое числу z = x + iy,
– модуль,
φ = arctg(y/x) – аргумент.
Слайд 41200
x = ρ cos φ,
y = ρ sin φ,
отсюда
z = ρ(cos φ
![200 x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, отсюда](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-40.jpg)
+ i sin φ),
Формула Эйлера:
– комплексная форма,
Слайд 44200
25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный, физический и математический маятники.
![200 25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный, физический и математический маятники.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-43.jpg)
Слайд 45200
Рассмотрим систему, с одной степенью свободы. Потенциальная энергия системы будет функцией одной
![200 Рассмотрим систему, с одной степенью свободы. Потенциальная энергия системы будет функцией](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-44.jpg)
переменной x: U = U(x). Система обладает положением устойчивого равновесия в точке
x = 0. В этом положении функция U(x) имеет минимум. Будем отсчитывать координату и потенциальную энергию от этого положения равновесия U(0) = 0.
Слайд 46200
Рассмотрим динамику гармонических колебаний на примере шарика на пружине.
Fвнеш
– x 0 x x
![200 Рассмотрим динамику гармонических колебаний на примере шарика на пружине. Fвнеш – x 0 x x](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-45.jpg)
Слайд 47200
Потенциальная энергия пружины
Сила действующая на пружину
Если сила по своей природе не является
![200 Потенциальная энергия пружины Сила действующая на пружину Если сила по своей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-46.jpg)
упругой, но соответствует данному выражению, то её называют квазиупругой.
Слайд 48200
Запишем 2-й закон Ньютона для данной системы
![200 Запишем 2-й закон Ньютона для данной системы](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-47.jpg)
Слайд 49200
Получим это же выражение из энергетических соотношений. Запишем полную механическую энергию системы
![200 Получим это же выражение из энергетических соотношений. Запишем полную механическую энергию системы и продифференцируем:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-48.jpg)
и продифференцируем:
Слайд 50200
В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением
Такие
![200 В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-49.jpg)
колебания называются свободными незатухающими.
Слайд 51200
Решение уравнения
имеет вид
Это закон гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются по закону
![200 Решение уравнения имеет вид Это закон гармонических колебаний – колебаний, которые](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-50.jpg)
синуса или косинуса.
Слайд 52200
Гармонический осциллятор –физическая система, поведение которой подчиняется уравнениям (динамическому и кинематическому):
![200 Гармонический осциллятор –физическая система, поведение которой подчиняется уравнениям (динамическому и кинематическому):](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-51.jpg)
Слайд 53200
Вообще, можно говорить о модели гармонического осциллятора. Рассмотри несколько примеров гармонических осцилляторов.
![200 Вообще, можно говорить о модели гармонического осциллятора. Рассмотри несколько примеров гармонических осцилляторов.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-52.jpg)
Слайд 54200
Математический маятник – материальная точка массы m на нерастяжимой нити длины ℓ.
Действующие
![200 Математический маятник – материальная точка массы m на нерастяжимой нити длины](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-53.jpg)
силы на точку
Слайд 56200
Запишем проекцию на касательную
воспользуемся следующими формулами (угол α очень мал)
x/ - расстояние,
![200 Запишем проекцию на касательную воспользуемся следующими формулами (угол α очень мал)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-55.jpg)
пройденное точкой по дуге. В итоге получаем уравнение
Слайд 57200
Можно переписать это уравнение не для угла отклонения α, а для смещения
![200 Можно переписать это уравнение не для угла отклонения α, а для](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-56.jpg)
x вдоль оси X. Используем формулы
В итоге получаем уравнение
Слайд 58200
Физический маятник – реальная колебательная система. Физический маятник – некоторое тело, совершающее
![200 Физический маятник – реальная колебательная система. Физический маятник – некоторое тело,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-57.jpg)
колебания относительно оси, непроходящей через центр масс.
Запишем 2-й закон Ньютона для вращательного движения
Слайд 60200
В случае малых колебаний получаем закон гармонического осциллятора
здесь m – масса тела,
![200 В случае малых колебаний получаем закон гармонического осциллятора здесь m –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-59.jpg)
ℓ – расстояние от точки подвеса до центра масс, J – момент инерции относительно точки подвеса (оси качания), M – момент сил, действующий на тело.
Слайд 61200
Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их
![200 Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-60.jpg)
колебаний совпадают
(Тфиз = Тматем):
Слайд 62200
Приведенная длина физического маятника
расстояние между точками 0 и 0* и есть
![200 Приведенная длина физического маятника расстояние между точками 0 и 0* и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-61.jpg)
приведенная длина
физического маятника. Сами точки 0 и 0* взаимозаменяемы, т. е. при замене точки 0 на 0* и обратно период колебаний физического маятника сохраняется неизменным.
Слайд 64200
Согласно теореме Штейнера момент инерции можно представить следующим способом:
I0 – момент инерции
![200 Согласно теореме Штейнера момент инерции можно представить следующим способом: I0 –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-63.jpg)
тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Если ℓ = ℓ0 (ℓ0 – радиус инерции), то период колебаний такого маятника будет минимальным.
Слайд 65200
Колебательный контур (электрические колебания)
![200 Колебательный контур (электрические колебания)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-64.jpg)
Слайд 66200
В отсутствии потерь энергии (нет диссипативных сил) выполняется закон сохранения механической энергии
![200 В отсутствии потерь энергии (нет диссипативных сил) выполняется закон сохранения механической](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-65.jpg)
– полная механическая энергия складывается из кинетической энергии грузика массой m (при прохождении положения равновесия эта энергия максимальна) и из потенциальной энергии (максимальна в крайних положениях).
Слайд 67200
Запишем выражения для координаты, скорости, ускорения и суммарной механической энергии на примере
![200 Запишем выражения для координаты, скорости, ускорения и суммарной механической энергии на примере пружинного маятника:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-66.jpg)
пружинного маятника:
Слайд 70200
ЛЕКЦИЯ № 8
Затухающие колебания.
Вынужденные колебания.
![200 ЛЕКЦИЯ № 8 Затухающие колебания. Вынужденные колебания.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-69.jpg)
Слайд 71200
ВОПРОСЫ
26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность.
27. Вынужденные колебания. Амплитуда
![200 ВОПРОСЫ 26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. 27.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-70.jpg)
и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.
28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.
Слайд 72200
26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. Апериодические процессы.
![200 26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. Апериодические процессы.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-71.jpg)
Слайд 73200
В случае наличия сил сопротивления (трение) колебания описываются дифференциальным уравнением
β –
![200 В случае наличия сил сопротивления (трение) колебания описываются дифференциальным уравнением β](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-72.jpg)
коэффициент затухания,
r – коэффициент сопротивления,
F = –rx – сила сопротивления.
Слайд 74200
Рассмотрим случай с малым затуханием (β << ω0), в этом случае решение
![200 Рассмотрим случай с малым затуханием (β](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-73.jpg)
уравнения имеет вид
здесь – частота затухающих колебаний, амплитуда колебаний уменьшается по экспоненте .
Слайд 76200
Рассмотрим характеристики затухающего колебания
![200 Рассмотрим характеристики затухающего колебания](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-75.jpg)
Слайд 77200
Сравним значения амплитуды в моменты времени,
отличающиеся на t/:
если t/ = 1/β, то
![200 Сравним значения амплитуды в моменты времени, отличающиеся на t/: если t/](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-76.jpg)
t/ называется постоянной времени осциллятора – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.
Слайд 78200
Сравним значения амплитуды колебаний в моменты времени (t) и
(t + T):
d –
![200 Сравним значения амплитуды колебаний в моменты времени (t) и (t +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-77.jpg)
логарифмический декремент затухания. Он показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период.
Слайд 79200
Например, N – число колебаний функции x(t) после которых амплитуда уменьшается в
![200 Например, N – число колебаний функции x(t) после которых амплитуда уменьшается](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-78.jpg)
«е» раз, тогда:
Если d = 0,01, то за N = 100 колебаний амплитуда уменьшается в «е» раз.
Слайд 80200
Добротность – это отношение средней энергии колебаний за некоторый период (E0) к
![200 Добротность – это отношение средней энергии колебаний за некоторый период (E0)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-79.jpg)
потерям энергии (ΔE) за этот же период со множителем 2π.
Слайд 81200
Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0
![200 Ангармонические колебания. Осциллятор с большим затуханием. β >> ω0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-80.jpg)
Слайд 82200
Предельный случай β = ω0
Этот случай в технике важен тем, что при
![200 Предельный случай β = ω0 Этот случай в технике важен тем,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-81.jpg)
таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия система может вернуться в исходное состояние. (Из-за силы трения система может не вернуться в исходное положение)
Слайд 84200
27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.
![200 27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-83.jpg)
Слайд 85200
Если на систему действует внешняя вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону
F =
![200 Если на систему действует внешняя вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-84.jpg)
F0cosωt, то колебание описывается уравнением
– приведённая сила.
Слайд 86200
это линейное дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Из математики известно, что
![200 это линейное дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Из математики известно,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-85.jpg)
его решением является решение общего однородного уравнения и частного решения собственно неоднородного уравнения.
Слайд 87200
Линейное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка:
и его решение:
![200 Линейное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка: и его решение:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-86.jpg)
Слайд 88200
Частное решение линейного дифференциального неоднородного уравнения в комплексной форме:
Решение уравнения вынужденных
![200 Частное решение линейного дифференциального неоднородного уравнения в комплексной форме: Решение уравнения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-87.jpg)
колебаний складывается из этих двух решений: x1(t) + x2(t),
но x2(t) быстро затухает и его в вынужденных колебаниях не учитывают .
Слайд 89200
Запишем решение в вещественном виде (и без x2(t)):
Амплитуда и фаза колебаний определяются
![200 Запишем решение в вещественном виде (и без x2(t)): Амплитуда и фаза колебаний определяются выражениями](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-88.jpg)
выражениями
Слайд 90200
Исследуем поведение амплитуды. При ω = 0 получаем стационарное отклонение a0 =
![200 Исследуем поведение амплитуды. При ω = 0 получаем стационарное отклонение a0](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-89.jpg)
f0/ω0. Максимальное значение амплитуды при частоте
максимум скорости при ω = ω0, максимум ускорения при
Слайд 92200
Эта кривая называется резонансной кривой. Если (в случае малых затуханий) провести горизонтальную
![200 Эта кривая называется резонансной кривой. Если (в случае малых затуханий) провести](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-91.jpg)
линию по уровню
то можно задать добротность следующим образом
Слайд 94200
Резонанс – это явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей силы,
![200 Резонанс – это явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-93.jpg)
равной частоте системы.
Но как видно из формулы резонансной частоты, резонанс достигается в случае не строгого равенства частоты собственной и частоты внешней периодической силы:
Слайд 95200
Рассмотрим фазу в случае вынужденных колебаний и в случае резонанса
рассмотрим фазовую резонансную
![200 Рассмотрим фазу в случае вынужденных колебаний и в случае резонанса рассмотрим фазовую резонансную кривую](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-94.jpg)
кривую
Слайд 97200
Параметрический резонанс
– это явление заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическим
![200 Параметрический резонанс – это явление заключается в совершаемом в такт с](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-96.jpg)
изменением какого-либо параметра системы.
Слайд 98200
Возьмём математический маятник. Будем уменьшать длину подвеса маятника в положениях равновесия и
![200 Возьмём математический маятник. Будем уменьшать длину подвеса маятника в положениях равновесия](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-97.jpg)
увеличивать в крайних положениях. В результате этого маятник будет сильно раскачиваться.
Слайд 100200
Увеличение энергии маятника происходит за счёт работы, которую совершает сила, действующая на
![200 Увеличение энергии маятника происходит за счёт работы, которую совершает сила, действующая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-99.jpg)
нить. В положениях равновесия сила натяжения нити больше, чем в крайних, поэтому прирост энергии здесь больше, чем убыль в крайних.
Слайд 102200
28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.
![200 28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-101.jpg)
Слайд 103200
Рассмотрим закономерности поведения колебательных систем с двумя степенями свободы на следующем примере:
пусть
![200 Рассмотрим закономерности поведения колебательных систем с двумя степенями свободы на следующем](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-102.jpg)
два маятника, связаны пружиной, будем рассматривать малые колебания, так что
sinα1 ≈ α1, sinα2 ≈ α2.
Слайд 105200
Пружина жёсткости k закреплена на расстоянии h от точек подвеса O маятников,
![200 Пружина жёсткости k закреплена на расстоянии h от точек подвеса O](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-104.jpg)
причём при α1= α2 = 0 пружина не деформирована.
Слайд 106200
Уравнение движения
для первого маятника имеет вид
где m1ℓ12 – момент инерции относительно оси
![200 Уравнение движения для первого маятника имеет вид где m1ℓ12 – момент](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-105.jpg)
O1,
(–mgℓ sin α) ≈ mgℓα
– момент силы тяжести,
h(α2 – α1) – деформация (удлинение) пружины,
Слайд 107200
kh2(α2 – α1) – момент упругой силы относительно той же оси.
Аналогично,
![200 kh2(α2 – α1) – момент упругой силы относительно той же оси. Аналогично, для второго маятника](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-106.jpg)
для второго маятника
Слайд 108200
Эти два уравнения преобразуем к виду
где
собственные частоты каждого маятника.
![200 Эти два уравнения преобразуем к виду где собственные частоты каждого маятника.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-107.jpg)
Слайд 109200
Частоты ω01 и ω02 частоты, которые были бы, если бы не было
![200 Частоты ω01 и ω02 частоты, которые были бы, если бы не](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-108.jpg)
связи между ними.
– коэффициенты, описывающие взаимодействие маятников, обусловленное пружиной.
Слайд 110200
В общем случае колебания не будут гармоническими. Рассмотрим простейший случай:
ω01 =
![200 В общем случае колебания не будут гармоническими. Рассмотрим простейший случай: ω01](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-109.jpg)
ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ.
Здесь может быть два крайних случая.
Слайд 113200
Найденные решения называются нормальными колебаниями или модами.
1-я мода
2-я мода
![200 Найденные решения называются нормальными колебаниями или модами. 1-я мода 2-я мода](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-112.jpg)
Слайд 114200
В общем случае решение есть суперпозиция мод:
Конкретный вид этого решения зависит от
![200 В общем случае решение есть суперпозиция мод: Конкретный вид этого решения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-113.jpg)
начальных условий:
A1, A2, φ1, φ2 (A1 = B1, A2 = – B2).
Слайд 115200
Другими словами, колебания осцилляторов представляют собой суперпозицию двух гармонических колебаний разных частот
![200 Другими словами, колебания осцилляторов представляют собой суперпозицию двух гармонических колебаний разных](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-114.jpg)
ω01, ω02.
При произвольных начальных условиях колебания не являются гармоническими.
(Это решение для случая
ω01 = ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ.)
Слайд 118200
ВОПРОСЫ
29. Теорема Фурье.
Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.
30. Ангармонические колебания. Автоколебания.
![200 ВОПРОСЫ 29. Теорема Фурье. Спектральное разложение. Принцип радиосвязи. 30. Ангармонические колебания. Автоколебания.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-117.jpg)
Слайд 119200
29. Теорема Фурье.
Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.
![200 29. Теорема Фурье. Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-118.jpg)
Слайд 120200
Теорема Фурье: Любая периодическая функция может быть разложена преобразованием Фурье, то есть
![200 Теорема Фурье: Любая периодическая функция может быть разложена преобразованием Фурье, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-119.jpg)
представлена в виде суммы конечного или бесконечного числа синусоидальных и/или косинусоидальных функций.
Слайд 121200
Запишем ряд Фурье в комплексной форме:
здесь f(t) – периодическая функция, Ck –
![200 Запишем ряд Фурье в комплексной форме: здесь f(t) – периодическая функция,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-120.jpg)
коэффициенты, i – мнимая единица, ωk – частоты, соответствующие коэффициентам Ck, ωk = k·Ω, k = 0, 1, 2, … ,
Ω – основная частота.
Слайд 122200
Для вычисления Ck умножим обе части на и проинтегрируем:
если k ≠ m,
![200 Для вычисления Ck умножим обе части на и проинтегрируем: если k](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-121.jpg)
то интеграл справа равен 0, если k = m, то период Т. Отсюда
Слайд 123200
В тригонометрическом виде теорема Фурье выглядит следующим образом
![200 В тригонометрическом виде теорема Фурье выглядит следующим образом](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-122.jpg)
Слайд 124200
Пример: Рассмотрим разложение периодической чётной функции (в разложении будут только косинусы) с
![200 Пример: Рассмотрим разложение периодической чётной функции (в разложении будут только косинусы)](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-123.jpg)
использованием первых десяти членов (a0, a1, a3, a5, a7, a9 ≠ 0;
a2, a4, a6, a8 = 0).
Слайд 126200
Модулированное колебание
здесь A(t) – амплитудная модуляция, ω(t) – частотная модуляция,
φ(t) – фазовая
![200 Модулированное колебание здесь A(t) – амплитудная модуляция, ω(t) – частотная модуляция, φ(t) – фазовая модуляция.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-125.jpg)
модуляция.
Слайд 127200
Рассмотрим синусоидальную модуляцию:
A0, α, Ω – const, ω – несущая частота, α
![200 Рассмотрим синусоидальную модуляцию: A0, α, Ω – const, ω – несущая](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-126.jpg)
– глубина модуляции,
Ω – частота модуляции.
Слайд 128200
Получаем в итоге колебание на трёх частотах:
С помощью гармонического осциллятора можно выделить
![200 Получаем в итоге колебание на трёх частотах: С помощью гармонического осциллятора](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-127.jpg)
одну из частот, совпадающую с его собственной ω.
Слайд 129200
Теорема Фурье для непериодической функции X(t):
Здесь имеет место непрерывное множество синусоидальных колебаний,
![200 Теорема Фурье для непериодической функции X(t): Здесь имеет место непрерывное множество](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-128.jpg)
частоты которых непрерывно заполняют определённый интервал.
Слайд 131200
Принцип радиосвязи
Человеческое ухо воспринимает частоту 20 – 20000 Гц, но для передачи
![200 Принцип радиосвязи Человеческое ухо воспринимает частоту 20 – 20000 Гц, но](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-130.jpg)
такого сигнала нужны гигантские антенны
L = λ/2 = c/2ν ~ 105 м.
λ – длина волны, c – скорость света, ν – частота.
Слайд 132200
Для передачи используют радиоволны на частотах 105 – 108 Гц и даже
![200 Для передачи используют радиоволны на частотах 105 – 108 Гц и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-131.jpg)
на частотах 1010 Гц.
Сигнал модулируют низкой частотой (звуковая частота), а передают на высокой частоте (радиоволны).
Слайд 133200
Модуляция может быть амплитудной, фазовой, частотной.
Пример амплитудной модуляции
(f(t) – модулирующая функция):
![200 Модуляция может быть амплитудной, фазовой, частотной. Пример амплитудной модуляции (f(t) – модулирующая функция):](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-132.jpg)
Слайд 134200
В приёмной антенне сигнал необходимо демодулировать, детектировать. Схема простейшего детектора.
Диод
Uвх Uвых
![200 В приёмной антенне сигнал необходимо демодулировать, детектировать. Схема простейшего детектора. Диод Uвх Uвых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-133.jpg)
Слайд 135200
1) сигнал 3) сигнал после детектора (диода)
2) модулирующий 4) детектированный сигнал сигнал на
![200 1) сигнал 3) сигнал после детектора (диода) 2) модулирующий 4) детектированный сигнал сигнал на выходе](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-134.jpg)
выходе
Слайд 137200
30. Ангармонические колебания. Автоколебания.
![200 30. Ангармонические колебания. Автоколебания.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-136.jpg)
Слайд 138200
Ангармонические колебания
Уравнение динамики математического маятника имеет вид:
В случае малых отклонений
(α ≈ sin
![200 Ангармонические колебания Уравнение динамики математического маятника имеет вид: В случае малых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-137.jpg)
α) колебания можно считать гармоническими:
Слайд 139200
Именно в этом случае, в случае гармонических колебаний, период не зависит от
![200 Именно в этом случае, в случае гармонических колебаний, период не зависит](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-138.jpg)
амплитуды колебаний.
Возвращающая сила прямо пропорциональна смещению:
Слайд 141200
В случае не малых отклонений
колебания перестают быть гармоническими: сила нелинейно зависит от
![200 В случае не малых отклонений колебания перестают быть гармоническими: сила нелинейно зависит от смещения](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-140.jpg)
смещения
Слайд 142200
В этом случае период зависит от амплитуды.
Примеры: маятник с большими отклонениями, пружинный
![200 В этом случае период зависит от амплитуды. Примеры: маятник с большими](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-141.jpg)
маятник с переменной жёсткостью, колебательный контур, в катушке которого сердечник, при больших амплитудах.
Слайд 143200
Автоколебания
Вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависит
![200 Автоколебания Вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-142.jpg)
от характера внешнего воздействия, а определяется свойствами самой автоколебательной системы.
Слайд 144200
Автоколебательные системы – системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего
![200 Автоколебательные системы – системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего воздействия.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-143.jpg)
воздействия.
Слайд 145200
Кратко рассмотрим возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний, где Л
![200 Кратко рассмотрим возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний, где](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-144.jpg)
– лампа-триод, S – сетка, А – анод, К – катод, L2 – индуктивность, R – сопротивление, C – ёмкость, L1 – катушка обратной связи, Ԑ − ЭДС источника тока.
Слайд 147200
При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный ток Ia, а потенциал
![200 При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный ток Ia, а](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-146.jpg)
сетки упадет, что приведет к уменьшению анодного тока.
Если витки катушек намотаны параллельно, то за счет взаимной индукции затухание в контуре увеличится.
Возникнет отрицательная обратная связь.
Слайд 148200
Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится, амплитуда
![200 Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-147.jpg)
колебаний начнет возрастать.
Возникнет положительная обратная связь.
Слайд 149200
Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рисунке.
![200 Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рисунке.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-148.jpg)
Слайд 150200
Уравнение для данного контура можно записать в виде:
q – заряд на обкладках
![200 Уравнение для данного контура можно записать в виде: q – заряд на обкладках конденсатора.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-149.jpg)
конденсатора.
Слайд 151200
M, S = const, S – крутизна сеточной характеристики; М – коэффициент
![200 M, S = const, S – крутизна сеточной характеристики; М –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-150.jpg)
взаимной индукции,
колебания в автоколебательном контуре будут подчиняться закону:
Слайд 152200
Если выполняется условие -SM / C > R (δ < 0), то
![200 Если выполняется условие -SM / C > R (δ](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-151.jpg)
состояние равновесия будет неустойчивым фокусом.
Любое малое отклонение системы от равновесия будет возрастать.
Колебательный контур начнет самовозбуждаться.
Слайд 153200
В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных
![200 В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-152.jpg)
условий, а определяется параметрами системы.
Это есть общее свойство всех автоколебательных систем.
Слайд 154200
Рол нелинейности.
Амплитуда автоколебаний от начальных условий не зависит.
Автоколебания могут возбуждаться периодическими внешними
![200 Рол нелинейности. Амплитуда автоколебаний от начальных условий не зависит. Автоколебания могут](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-153.jpg)
силами, но период автоколебаний не зависит от периода этих сил.
Слайд 155200
Релаксационные колебания – это колебания, которые происходят под действием постоянной вынуждающей силы
![200 Релаксационные колебания – это колебания, которые происходят под действием постоянной вынуждающей](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-154.jpg)
за счёт перехода системы из одного состояния в другое (пример: ветер и дерево). Параметрические колебания – колебания за счёт изменения параметра системы.
Слайд 158200
ВОПРОСЫ
31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение плоской
![200 ВОПРОСЫ 31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-157.jpg)
бегущей волны. Стоячие волны (вывод).
32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.
33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.
Слайд 159200
Вопрос № 26.
31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и
![200 Вопрос № 26. 31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-158.jpg)
уравнение плоской бегущей волны. Стоячие волны (вывод).
Слайд 160200
Волна – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
Таким образом, волна
![200 Волна – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Таким](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-159.jpg)
это некоторая функция S = S(x, y, z, t).
Эту функцию можно представить в следующем виде:
S(z, t) = S(z – vt)
– распространение волны вдоль оси Z.
Слайд 161200
Волновое уравнение (пространственное и вдоль оси Z)
оператор Лапласа
![200 Волновое уравнение (пространственное и вдоль оси Z) оператор Лапласа](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-160.jpg)
Слайд 162200
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну (на одной частоте)
S(z, t) = a cos(ωt
![200 Рассмотрим плоскую монохроматическую волну (на одной частоте) S(z, t) = a](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-161.jpg)
– kz)z.
ω – циклическая частота волны,
k = 2π/λ = ω/ʋ – волновой вектор,
ʋ = ω/k = λω/2π – фазовая скорость,
λ – длина волны,
Т – период,
(ωt – kz) – фаза волны.
Слайд 163200
Для плоской бегущей волны S и фаза одинаковы, синфазны, в любой точке
![200 Для плоской бегущей волны S и фаза одинаковы, синфазны, в любой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-162.jpg)
(x, y) плоскости z = const.
Поверхности, где колебания синфазны, называются волновыми поверхностями.
Поверхность, до которой дошла волна в данный момент времени, называется волновым фронтом.
Слайд 164200
Волновой вектор показывает направление распространения волны
![200 Волновой вектор показывает направление распространения волны](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-163.jpg)
Слайд 165200
Стационарные волны – волновая функция постоянна.
Синусоидальная волна – колебания в некоторой точке
![200 Стационарные волны – волновая функция постоянна. Синусоидальная волна – колебания в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-164.jpg)
пространства происходят по закону синуса.
Скалярные волны – волновое возмущение описывается скалярной величиной (плотность, давление).
Векторные волны – волновое возмущение описывается векторной величиной (напряжённость)
Слайд 166200
Продольные волны – колеблющая величина совершает колебания параллельно волновому вектору (вдоль направления
![200 Продольные волны – колеблющая величина совершает колебания параллельно волновому вектору (вдоль](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-165.jpg)
распространения волны ),
Поперечные волны – колеблющая величина совершает колебания перпендикулярно волновому вектору (поперёк направления распространения волны )
Слайд 167200
Плоскополяризованная волна – волна, колебания в которой вектора S происходят в фиксированной
![200 Плоскополяризованная волна – волна, колебания в которой вектора S происходят в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-166.jpg)
плоскости. Эта плоскость называется плоскостью поляризации.
Слайд 168200
Стоячие волны
Рассмотрим сложение двух волн:
S1(z, t) = acos(ωt – kz),
S2(z, t) =
![200 Стоячие волны Рассмотрим сложение двух волн: S1(z, t) = acos(ωt –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-167.jpg)
acos(ωt + kz),
одна волна падающая (вектор – k),
другая волна отражённая от какой-либо преграды (вектор + k).
Слайд 169200
В результате сложения падающей и отражённой волны получаем выражение:
S1 + S2
![200 В результате сложения падающей и отражённой волны получаем выражение: S1 +](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-168.jpg)
= 2a cos(kz) cos(ωt).
Временные и пространственные коэффициенты оказались разделены. Это выражение описывает волну, у которой нет перемещения волновых поверхностей. Это и есть стоячие волны.
Слайд 170200
Если волна отражается от среды менее плотной, чем среда распространения, то сдвига
![200 Если волна отражается от среды менее плотной, чем среда распространения, то](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-169.jpg)
фаз в волне не происходит. В этой точке у стоячих волн всегда максимум амплитуды – пучность.
Если волна отражается от более плотной среды, то происходит сдвиг фазы на пол длины волны. В этой точке у волны узел – нулевая амплитуда.
Слайд 173200
32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.
![200 32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-172.jpg)
Слайд 174200
Упругие волны в твёрдых телах
Рассмотрим стержень, на который оказывается некоторое ударное воздействие.
z
![200 Упругие волны в твёрдых телах Рассмотрим стержень, на который оказывается некоторое](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-173.jpg)
ξ z/ ξ/
F
здесь z – координата, ξ – новая координаты частиц, Δz – смещение частиц из-за удара F (z + Δz = ξ).
Слайд 175200
Продольная деформация
dz – расстояние между точками без напряжения, dξ – расстояние между
![200 Продольная деформация dz – расстояние между точками без напряжения, dξ –](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-174.jpg)
точками при деформации (из-за распространения волны).
Слайд 176200
Сами частицы стержня смещаются незначительно, приводя в движение соседние частицы, те передают
![200 Сами частицы стержня смещаются незначительно, приводя в движение соседние частицы, те](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-175.jpg)
импульс соседним частицам и т.д. – именно так малые смещения частиц приводят к распространению волнового возмущения на большие расстояния.
Слайд 177200
Волновое уравнение упругих деформаций
ʋ2 = E/ρ0 – скорость волны, E – модуль
![200 Волновое уравнение упругих деформаций ʋ2 = E/ρ0 – скорость волны, E](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-176.jpg)
Юнга, ρ0 – плотность вещества без нагрузки.
Слайд 178200
Упругие волны в газах и жидкостях
Волна в газах или жидкостях распространяется за
![200 Упругие волны в газах и жидкостях Волна в газах или жидкостях](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-177.jpg)
счёт изменения давления и плотности.
Волновое уравнение
ξ – смещение центра масс участка среды.
Слайд 179ξ
200
– скорость волны,
dp – изменение давления, dρ – изменение плотности.
![ξ 200 – скорость волны, dp – изменение давления, dρ – изменение плотности.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-178.jpg)
Слайд 180200
Для газов
p0 – давление в обычных условиях, ρ0 –плотность в обычных
![200 Для газов p0 – давление в обычных условиях, ρ0 –плотность в](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-179.jpg)
условиях,
γ – показатель адиабаты, Cp, CV – теплоёмкости при постоянном давлении и объёме
1 моля газа, соответственно.
Слайд 181200
Энергия волны
В упругой волне энергия складывается из кинетической и потенциальной составляющих.
Объёмная плотность
![200 Энергия волны В упругой волне энергия складывается из кинетической и потенциальной составляющих. Объёмная плотность энергии](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-180.jpg)
энергии
Слайд 182200
Волновой процесс представляет собой передачу энергии без передачи вещества.
Введём вектор – плотность
![200 Волновой процесс представляет собой передачу энергии без передачи вещества. Введём вектор](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-181.jpg)
потока энергии (вектор Умова-Пойтинга):
σ = Eε – напряжение, n – единичный вектор, который направлен так же как и направление бегущей волны.
Слайд 183200
В газе или жидкости
Поток энергии через площадку S за время dt:
![200 В газе или жидкости Поток энергии через площадку S за время dt:](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-182.jpg)
Слайд 185200
33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.
![200 33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-184.jpg)
Слайд 186200
Поведение звука границе раздела двух сред.
Рассмотрим плоскую звуковую волну
S1 = a1
![200 Поведение звука границе раздела двух сред. Рассмотрим плоскую звуковую волну S1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-185.jpg)
cos(ωt – k1z),
в области 1 z < 0.
На границе раздела (z = 0) волна разделяется на две:
прошедшую (S2) и отражённую (S′1).
Слайд 188200
Прошедшая волна
S2 = a2 cos(ωt – k2z),
отражённая волна
S′1 = a′1 cos(ωt
![200 Прошедшая волна S2 = a2 cos(ωt – k2z), отражённая волна S′1](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-187.jpg)
+ k1z),
k1 ≠ k2, ʋ1 ≠ ʋ2.
Слайд 189200
Запишем граничные условия:
E1k1(a1 – a′1) = E2k2a2.
Это условие получено из условия
![200 Запишем граничные условия: E1k1(a1 – a′1) = E2k2a2. Это условие получено](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-188.jpg)
равенства сил, действующих на границе со стороны одной среды на другую.
Слайд 191200
Порог слышимости (минимальная слышимая интенсивность звука)
I0 ≈ 10–12 Вт/м2,
Болевой порог
I ≈ 1012
![200 Порог слышимости (минимальная слышимая интенсивность звука) I0 ≈ 10–12 Вт/м2, Болевой](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-190.jpg)
I0.
Интенсивность звука выражают в децибелах:
β = 10log I/I0, 1010 I0 ÷ β = 100 дБ,
порог слышимости β0 = 0 дБ,
болевой порог β = 120 дБ.
Слайд 192200
Ударные волны
В случае малых возмущений среда линейна – волна синусоидальна. С ростом
![200 Ударные волны В случае малых возмущений среда линейна – волна синусоидальна.](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-191.jpg)
амплитуды возмущения среда теряет линейность, волна становится не синусоидальной. Участки с большим возмущением имеют большую скорость. Возникают волны различных частот. В этом случае говорят о взрывной волне.
Слайд 193200
Эффект Доплера – изменение частоты излучения при относительном движении источника и приёмника
![200 Эффект Доплера – изменение частоты излучения при относительном движении источника и](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-192.jpg)
(верхний знак относится к сближению, нижний – к расхождению)
Слайд 194200
Здесь ν – частота принимаемого сигнала, ν0 – частота испускаемого сигнала, ʋзв
![200 Здесь ν – частота принимаемого сигнала, ν0 – частота испускаемого сигнала,](/_ipx/f_webp&q_80&fit_contain&s_1440x1080/imagesDir/jpg/903275/slide-193.jpg)
– скорость сигнала (звукового или светового), u1 – скорость приёмника, u2 – скорость источника, α1 – угол между направлением на источник и движением приёмника, α2 – угол между направлением на приёмник и направлением движения источника.