Колебания. Лекция № 8

200
ВОПРОСЫ
23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Векторная диаграмма.
24. Сложение колебаний одного направления и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный маятник.

200
23. Гармонические колебания. Характеристики гармонических колебаний. Графическое представление гармонических колебаний. Векторная диаграмма. Фазовая плоскость.

200
Колебания – процессы отличающиеся той или иной степенью повторяемости.

200
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Закон кинематики гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются по закону синуса или косинуса (решение дифференциального уравнения):

200
x – смещение или колеблющаяся величина,
A – амплитуда колебаний – максимальное смещение или максимальное значение колеблющейся величины,
(ω0t + α) – величина, стоящая под знаком косинуса или синуса – фаза колебаний,

200
ω0 – собственная частота, она же циклическая частота – количество колебаний за 2π секунды,
α – начальная фаза (для момента времени t = 0),
T – период, время, за которое фаза получает приращение 2π или время одного колебания (цикла),

200
Векторная диаграмма
(векторное изображение колебаний)
Возьмём ось X. Из точки О отложим вектор a под углом α к оси. Если привести этот вектор во вращение с угловой скоростью ω0, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси X в пределах от –a до +a, по закону x = a cos(ω0t + α).

200

200
Фазовая плоскость
На фазовой плоскости для координат используют значения колеблющейся величины (ось абсцисс – X) и её скорость (ось ординат – Y).

200
Уравнение траектории фазовой кривой
X
X

200
Затухающий осциллятор

200
Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0

200
Предельный случай β = ω0
Этот случай в технике важен тем, что при таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия система может вернуться в исходное состояние. (Из-за силы трения система может не вернуться в исходное положение)

200

200
24. Сложение колебаний одного направления и частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Частные случаи.

200
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний
x1 = a1 cos(ω0t + φ1), x2 = a2 cos(ω0t + φ2).
В соответствии с теоремой косинусов и рисунком запишем амплитуду результирующего колебания
a2 = a12 + a22 + 2a1a2cos(φ2 – φ1).

200

200
Фаза результирующего колебания вычисляется следующим образом

200
Если φ2 ≠ φ1 то говорим о векторном сложении векторов,
Если φ2 = φ1 то говорим о скалярном сложении векторов:
x = x1 + x2 = (a1 + a2) cos(ω0t + φ).

200

200
Биения – колебания с пульсирующей амплитудой, которые получаются в результате сложения двух колебаний, обладающими незначительно отличающимися частотами.

200

200
Складываемые колебания
x1 = a cos(ωt), x2 = a cos((ω + Δω)t),
Результирующее колебание
x=x1+x2=2acos(Δωt/2)cos((ω+Δω/2)t)≈ ≈ 2a cos(Δωt/2) cos(ωt).
Амплитуда результирующего колебания и период пульсаций

200
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Запишем уравнения колебаний в следующей форме:
x = a cos(ωt), y = b cos(ωt + α).
Это параметрическая форма записи.

200
Из этой формы можно получить следующую запись
Это уравнение эллипса

200
В зависимости от фазы α получаем тот или иной вид колебаний. Рассмотрим три варианта.
1) α = 0:

200
2) α = ±π:

200
1) α = ±π/2:
Если a = b, то получаем окружность:
х2 + у2 = R2.

200
Если α = + π/2, то точка на траектории будет двигаться по часовой стрелке.

200
Если α = − π/2, то точка на траектории будет двигаться против часовой стрелки.

200
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с различными амплитудами и частотами ωx ≠ ωy и неодинаковыми начальными фазами возникают сложные результирующие колебания, которые называют фигурами Лиссажу.

200
Если соотношение частот
и разность фаз складываемых колебаний α = π/2, наблюдается кривая, напоминающая восьмерку.

200
При отношении круговых частот
и разности фаз складываемых колебаний α = π/2 наблюдается более сложная кривая.

200
Замечание 1: Число касаний фигуры Лиссажу со сторонами прямоугольника, образованного амплитудами, равно величине отношения частот.

200
Замечание 2: Если частоты складываемых колебаний кратны nω и mω, тогда уравнения взаимно перпендикулярных колебаний запишутся в виде

200
Траектория результирующего колебания будет замкнутой, её форма зависит от амплитуд a и b, круговых частот nω и mω и значений начальных фаз α1 и α2.

200
Комплексные числа
Представление колебаний в комплексной форме
Комплексное число
z = x + iy,
x, y – вещественные числа,
i2 = – 1 – мнимая единица.

200

200
x = Re z – вещественная часть,
y = Im z – мнимая часть,
z* = x – iy – комплексно сопряжённое числу z = x + iy,
– модуль,
φ = arctg(y/x) – аргумент.

200
x = ρ cos φ,
y = ρ sin φ,
отсюда
z = ρ(cos φ + i sin φ),
Формула Эйлера:
– комплексная форма,

200

200

200
25. Уравнение динамики незатухающих колебаний. Пружинный, физический и математический маятники.

200
Рассмотрим систему, с одной степенью свободы. Потенциальная энергия системы будет функцией одной переменной x: U = U(x). Система обладает положением устойчивого равновесия в точке
x = 0. В этом положении функция U(x) имеет минимум. Будем отсчитывать координату и потенциальную энергию от этого положения равновесия U(0) = 0.

200
Рассмотрим динамику гармонических колебаний на примере шарика на пружине.
Fвнеш
– x 0 x x

200
Потенциальная энергия пружины
Сила действующая на пружину
Если сила по своей природе не является упругой, но соответствует данному выражению, то её называют квазиупругой.

200
Запишем 2-й закон Ньютона для данной системы

200
Получим это же выражение из энергетических соотношений. Запишем полную механическую энергию системы и продифференцируем:

200
В отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением
Такие колебания называются свободными незатухающими.

200
Решение уравнения
имеет вид
Это закон гармонических колебаний – колебаний, которые совершаются по закону синуса или косинуса.

200
Гармонический осциллятор –физическая система, поведение которой подчиняется уравнениям (динамическому и кинематическому):

200
Вообще, можно говорить о модели гармонического осциллятора. Рассмотри несколько примеров гармонических осцилляторов.

200
Математический маятник – материальная точка массы m на нерастяжимой нити длины ℓ.
Действующие силы на точку

200
α

200
Запишем проекцию на касательную
воспользуемся следующими формулами (угол α очень мал)
x/ - расстояние, пройденное точкой по дуге. В итоге получаем уравнение

200
Можно переписать это уравнение не для угла отклонения α, а для смещения x вдоль оси X. Используем формулы
В итоге получаем уравнение

200
Физический маятник – реальная колебательная система. Физический маятник – некоторое тело, совершающее колебания относительно оси, непроходящей через центр масс.
Запишем 2-й закон Ньютона для вращательного движения

200

200
В случае малых колебаний получаем закон гармонического осциллятора
здесь m – масса тела, ℓ – расстояние от точки подвеса до центра масс, J – момент инерции относительно точки подвеса (оси качания), M – момент сил, действующий на тело.

200
Приведенной длиной физического маятника называют длину такого математического маятника, когда периоды их колебаний совпадают
(Тфиз = Тматем):

200
Приведенная длина физического маятника
расстояние между точками 0 и 0* и есть приведенная длина
физического маятника. Сами точки 0 и 0* взаимозаменяемы, т. е. при замене точки 0 на 0* и обратно период колебаний физического маятника сохраняется неизменным.

200

200
Согласно теореме Штейнера момент инерции можно представить следующим способом:
I0 – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.
Если ℓ = ℓ0 (ℓ0 – радиус инерции), то период колебаний такого маятника будет минимальным.

200
Колебательный контур (электрические колебания)

200
В отсутствии потерь энергии (нет диссипативных сил) выполняется закон сохранения механической энергии – полная механическая энергия складывается из кинетической энергии грузика массой m (при прохождении положения равновесия эта энергия максимальна) и из потенциальной энергии (максимальна в крайних положениях).

200
Запишем выражения для координаты, скорости, ускорения и суммарной механической энергии на примере пружинного маятника:

200
X
V
A
E
Eп
Eк
t

200

200
ЛЕКЦИЯ № 8
Затухающие колебания.
Вынужденные колебания.

200
ВОПРОСЫ
26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность.
27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.
28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.

200
26. Затухающие колебания. Время релаксации. Логарифмический декремент колебаний, добротность. Апериодические процессы.

200
В случае наличия сил сопротивления (трение) колебания описываются дифференциальным уравнением
β – коэффициент затухания,
r – коэффициент сопротивления,
F = –rx – сила сопротивления.

200
Рассмотрим случай с малым затуханием (β << ω0), в этом случае решение уравнения имеет вид
здесь – частота затухающих колебаний, амплитуда колебаний уменьшается по экспоненте .

200

200
Рассмотрим характеристики затухающего колебания

200
Сравним значения амплитуды в моменты времени,
отличающиеся на t/:
если t/ = 1/β, то t/ называется постоянной времени осциллятора – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в «е» раз.

200
Сравним значения амплитуды колебаний в моменты времени (t) и
(t + T):
d – логарифмический декремент затухания. Он показывает, на сколько изменяется амплитуда колебаний за 1 период.

200
Например, N – число колебаний функции x(t) после которых амплитуда уменьшается в «е» раз, тогда:
Если d = 0,01, то за N = 100 колебаний амплитуда уменьшается в «е» раз.

200
Добротность – это отношение средней энергии колебаний за некоторый период (E0) к потерям энергии (ΔE) за этот же период со множителем 2π.

200
Ангармонические колебания.
Осциллятор с большим затуханием.
β >> ω0

200
Предельный случай β = ω0
Этот случай в технике важен тем, что при таком соотношении параметров в случае внешнего воздействия система может вернуться в исходное состояние. (Из-за силы трения система может не вернуться в исходное положение)

200

200
27. Вынужденные колебания. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.

200
Если на систему действует внешняя вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону
F = F0cosωt, то колебание описывается уравнением
– приведённая сила.

200
это линейное дифференциальное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Из математики известно, что его решением является решение общего однородного уравнения и частного решения собственно неоднородного уравнения.

200
Линейное дифференциальное однородное уравнение с постоянными коэффициентами второго порядка:
и его решение:

200
Частное решение линейного дифференциального неоднородного уравнения в комплексной форме:
Решение уравнения вынужденных колебаний складывается из этих двух решений: x1(t) + x2(t),
но x2(t) быстро затухает и его в вынужденных колебаниях не учитывают .

200
Запишем решение в вещественном виде (и без x2(t)):
Амплитуда и фаза колебаний определяются выражениями

200
Исследуем поведение амплитуды. При ω = 0 получаем стационарное отклонение a0 = f0/ω0. Максимальное значение амплитуды при частоте
максимум скорости при ω = ω0, максимум ускорения при

200

200
Эта кривая называется резонансной кривой. Если (в случае малых затуханий) провести горизонтальную линию по уровню
то можно задать добротность следующим образом

200
Δω
0,7amax
amax

200
Резонанс – это явление возбуждения сильных колебаний при частоте внешней возбуждающей силы, равной частоте системы.
Но как видно из формулы резонансной частоты, резонанс достигается в случае не строгого равенства частоты собственной и частоты внешней периодической силы:

200
Рассмотрим фазу в случае вынужденных колебаний и в случае резонанса
рассмотрим фазовую резонансную кривую

200

200
Параметрический резонанс
– это явление заключается в совершаемом в такт с колебаниями периодическим изменением какого-либо параметра системы.

200
Возьмём математический маятник. Будем уменьшать длину подвеса маятника в положениях равновесия и увеличивать в крайних положениях. В результате этого маятник будет сильно раскачиваться.

200

200
Увеличение энергии маятника происходит за счёт работы, которую совершает сила, действующая на нить. В положениях равновесия сила натяжения нити больше, чем в крайних, поэтому прирост энергии здесь больше, чем убыль в крайних.

200

200
28. Связанные колебания. Нормальные координаты и нормальные моды колебаний.

200
Рассмотрим закономерности поведения колебательных систем с двумя степенями свободы на следующем примере:
пусть два маятника, связаны пружиной, будем рассматривать малые колебания, так что
sinα1 ≈ α1, sinα2 ≈ α2.

200

200
Пружина жёсткости k закреплена на расстоянии h от точек подвеса O маятников, причём при α1= α2 = 0 пружина не деформирована.

200
Уравнение движения
для первого маятника имеет вид
где m1ℓ12 – момент инерции относительно оси O1,
(–mgℓ sin α) ≈ mgℓα
– момент силы тяжести,
h(α2 – α1) – деформация (удлинение) пружины,

200
kh2(α2 – α1) – момент упругой силы относительно той же оси.
Аналогично, для второго маятника

200
Эти два уравнения преобразуем к виду
где
собственные частоты каждого маятника.

200
Частоты ω01 и ω02 частоты, которые были бы, если бы не было связи между ними.
– коэффициенты, описывающие взаимодействие маятников, обусловленное пружиной.

200
В общем случае колебания не будут гармоническими. Рассмотрим простейший случай:
ω01 = ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ.
Здесь может быть два крайних случая.

200
1) α1 = α2,
Решение:

200
2) α1 = – α2,
Решение:

200
Найденные решения называются нормальными колебаниями или модами.
1-я мода
2-я мода

200
В общем случае решение есть суперпозиция мод:
Конкретный вид этого решения зависит от начальных условий:
A1, A2, φ1, φ2 (A1 = B1, A2 = – B2).

200
Другими словами, колебания осцилляторов представляют собой суперпозицию двух гармонических колебаний разных частот ω01, ω02.
При произвольных начальных условиях колебания не являются гармоническими.
(Это решение для случая
ω01 = ω02 = ω0, σ1 = σ2 = σ.)

200

200
ЛЕКЦИЯ № 10
Колебания.

200
ВОПРОСЫ
29. Теорема Фурье.
Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.
30. Ангармонические колебания. Автоколебания.

200
29. Теорема Фурье.
Спектральное разложение. Принцип радиосвязи.

200
Теорема Фурье: Любая периодическая функция может быть разложена преобразованием Фурье, то есть представлена в виде суммы конечного или бесконечного числа синусоидальных и/или косинусоидальных функций.

200
Запишем ряд Фурье в комплексной форме:
здесь f(t) – периодическая функция, Ck – коэффициенты, i – мнимая единица, ωk – частоты, соответствующие коэффициентам Ck, ωk = k·Ω, k = 0, 1, 2, … ,
Ω – основная частота.

200
Для вычисления Ck умножим обе части на и проинтегрируем:
если k ≠ m, то интеграл справа равен 0, если k = m, то период Т. Отсюда

200
В тригонометрическом виде теорема Фурье выглядит следующим образом

200
Пример: Рассмотрим разложение периодической чётной функции (в разложении будут только косинусы) с использованием первых десяти членов (a0, a1, a3, a5, a7, a9 ≠ 0;
a2, a4, a6, a8 = 0).

200

200
Модулированное колебание
здесь A(t) – амплитудная модуляция, ω(t) – частотная модуляция,
φ(t) – фазовая модуляция.

200
Рассмотрим синусоидальную модуляцию:
A0, α, Ω – const, ω – несущая частота, α – глубина модуляции,
Ω – частота модуляции.

200
Получаем в итоге колебание на трёх частотах:
С помощью гармонического осциллятора можно выделить одну из частот, совпадающую с его собственной ω.

200
Теорема Фурье для непериодической функции X(t):
Здесь имеет место непрерывное множество синусоидальных колебаний, частоты которых непрерывно заполняют определённый интервал.

200
X(t) a(ω)
t ω

200
Принцип радиосвязи
Человеческое ухо воспринимает частоту 20 – 20000 Гц, но для передачи такого сигнала нужны гигантские антенны
L = λ/2 = c/2ν ~ 105 м.
λ – длина волны, c – скорость света, ν – частота.

200
Для передачи используют радиоволны на частотах 105 – 108 Гц и даже на частотах 1010 Гц.
Сигнал модулируют низкой частотой (звуковая частота), а передают на высокой частоте (радиоволны).

200
Модуляция может быть амплитудной, фазовой, частотной.
Пример амплитудной модуляции
(f(t) – модулирующая функция):

200
В приёмной антенне сигнал необходимо демодулировать, детектировать. Схема простейшего детектора.
Диод
Uвх Uвых

200
1) сигнал 3) сигнал после детектора (диода)
2) модулирующий 4) детектированный сигнал сигнал на выходе

200

200
30. Ангармонические колебания. Автоколебания.

200
Ангармонические колебания
Уравнение динамики математического маятника имеет вид:
В случае малых отклонений
(α ≈ sin α) колебания можно считать гармоническими:

200
Именно в этом случае, в случае гармонических колебаний, период не зависит от амплитуды колебаний.
Возвращающая сила прямо пропорциональна смещению:

α
200
ℓ
x
x ≈ ℓ sinα

200
В случае не малых отклонений
колебания перестают быть гармоническими: сила нелинейно зависит от смещения

200
В этом случае период зависит от амплитуды.
Примеры: маятник с большими отклонениями, пружинный маятник с переменной жёсткостью, колебательный контур, в катушке которого сердечник, при больших амплитудах.

200
Автоколебания
Вынужденные незатухающие колебания в реальных системах, период и амплитуда которых не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется свойствами самой автоколебательной системы.

200
Автоколебательные системы – системы, способные совершать незатухающие колебания в отсутствие периодического внешнего воздействия.

200
Кратко рассмотрим возникновение автоколебаний на примере лампового генератора электромагнитных колебаний, где Л – лампа-триод, S – сетка, А – анод, К – катод, L2 – индуктивность, R – сопротивление, C – ёмкость, L1 – катушка обратной связи, Ԑ − ЭДС источника тока.

200

200
При разряде конденсатора через лампу будет течь анодный ток Ia, а потенциал сетки упадет, что приведет к уменьшению анодного тока.
Если витки катушек намотаны параллельно, то за счет взаимной индукции затухание в контуре увеличится.
Возникнет отрицательная обратная связь.

200
Если же витки катушек намотаны антипараллельно, то затухание в контуре уменьшится, амплитуда колебаний начнет возрастать.
Возникнет положительная обратная связь.

200
Вид фазовой кривой для такого случая приведен на рисунке.

200
Уравнение для данного контура можно записать в виде:
q – заряд на обкладках конденсатора.

200
M, S = const, S – крутизна сеточной характеристики; М – коэффициент взаимной индукции,
колебания в автоколебательном контуре будут подчиняться закону:

200
Если выполняется условие -SM / C > R (δ < 0), то состояние равновесия будет неустойчивым фокусом.
Любое малое отклонение системы от равновесия будет возрастать.
Колебательный контур начнет самовозбуждаться.

200
В контуре устанавливаются автоколебания с постоянной амплитудой, которая не зависит от начальных условий, а определяется параметрами системы.
Это есть общее свойство всех автоколебательных систем.

200
Рол нелинейности.
Амплитуда автоколебаний от начальных условий не зависит.
Автоколебания могут возбуждаться периодическими внешними силами, но период автоколебаний не зависит от периода этих сил.

200
Релаксационные колебания – это колебания, которые происходят под действием постоянной вынуждающей силы за счёт перехода системы из одного состояния в другое (пример: ветер и дерево). Параметрические колебания – колебания за счёт изменения параметра системы.

200

200
ЛЕКЦИЯ № 11
Волны

200
ВОПРОСЫ
31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение плоской бегущей волны. Стоячие волны (вывод).
32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.
33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.

200
Вопрос № 26.
31. Волны. Типы и характеристики волн. Волновое уравнение и уравнение плоской бегущей волны. Стоячие волны (вывод).

200
Волна – процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
Таким образом, волна это некоторая функция S = S(x, y, z, t).
Эту функцию можно представить в следующем виде:
S(z, t) = S(z – vt)
– распространение волны вдоль оси Z.

200
Волновое уравнение (пространственное и вдоль оси Z)
оператор Лапласа

200
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну (на одной частоте)
S(z, t) = a cos(ωt – kz)z.
ω – циклическая частота волны,
k = 2π/λ = ω/ʋ – волновой вектор,
ʋ = ω/k = λω/2π – фазовая скорость,
λ – длина волны,
Т – период,
(ωt – kz) – фаза волны.

200
Для плоской бегущей волны S и фаза одинаковы, синфазны, в любой точке (x, y) плоскости z = const.
Поверхности, где колебания синфазны, называются волновыми поверхностями.
Поверхность, до которой дошла волна в данный момент времени, называется волновым фронтом.

200
Волновой вектор показывает направление распространения волны

200
Стационарные волны – волновая функция постоянна.
Синусоидальная волна – колебания в некоторой точке пространства происходят по закону синуса.
Скалярные волны – волновое возмущение описывается скалярной величиной (плотность, давление).
Векторные волны – волновое возмущение описывается векторной величиной (напряжённость)

200
Продольные волны – колеблющая величина совершает колебания параллельно волновому вектору (вдоль направления распространения волны ),
Поперечные волны – колеблющая величина совершает колебания перпендикулярно волновому вектору (поперёк направления распространения волны )

200
Плоскополяризованная волна – волна, колебания в которой вектора S происходят в фиксированной плоскости. Эта плоскость называется плоскостью поляризации.

200
Стоячие волны
Рассмотрим сложение двух волн:
S1(z, t) = acos(ωt – kz),
S2(z, t) = acos(ωt + kz),
одна волна падающая (вектор – k),
другая волна отражённая от какой-либо преграды (вектор + k).

200
В результате сложения падающей и отражённой волны получаем выражение:
S1 + S2 = 2a cos(kz) cos(ωt).
Временные и пространственные коэффициенты оказались разделены. Это выражение описывает волну, у которой нет перемещения волновых поверхностей. Это и есть стоячие волны.

200
Если волна отражается от среды менее плотной, чем среда распространения, то сдвига фаз в волне не происходит. В этой точке у стоячих волн всегда максимум амплитуды – пучность.
Если волна отражается от более плотной среды, то происходит сдвиг фазы на пол длины волны. В этой точке у волны узел – нулевая амплитуда.

200

200

200
32. Упругие волны. Энергия волны. Вектор Умова.

200
Упругие волны в твёрдых телах
Рассмотрим стержень, на который оказывается некоторое ударное воздействие.
z ξ z/ ξ/
F
здесь z – координата, ξ – новая координаты частиц, Δz – смещение частиц из-за удара F (z + Δz = ξ).

200
Продольная деформация
dz – расстояние между точками без напряжения, dξ – расстояние между точками при деформации (из-за распространения волны).

200
Сами частицы стержня смещаются незначительно, приводя в движение соседние частицы, те передают импульс соседним частицам и т.д. – именно так малые смещения частиц приводят к распространению волнового возмущения на большие расстояния.

200
Волновое уравнение упругих деформаций
ʋ2 = E/ρ0 – скорость волны, E – модуль Юнга, ρ0 – плотность вещества без нагрузки.

200
Упругие волны в газах и жидкостях
Волна в газах или жидкостях распространяется за счёт изменения давления и плотности.
Волновое уравнение
ξ – смещение центра масс участка среды.

ξ
200
– скорость волны,
dp – изменение давления, dρ – изменение плотности.

200
Для газов
p0 – давление в обычных условиях, ρ0 –плотность в обычных условиях,
γ – показатель адиабаты, Cp, CV – теплоёмкости при постоянном давлении и объёме
1 моля газа, соответственно.

200
Энергия волны
В упругой волне энергия складывается из кинетической и потенциальной составляющих.
Объёмная плотность энергии

200
Волновой процесс представляет собой передачу энергии без передачи вещества.
Введём вектор – плотность потока энергии (вектор Умова-Пойтинга):
σ = Eε – напряжение, n – единичный вектор, который направлен так же как и направление бегущей волны.

200
В газе или жидкости
Поток энергии через площадку S за время dt:

200

200
33. Поведение звука на границе раздела двух сред. Ударные волны. Эффект Доплера.

200
Поведение звука границе раздела двух сред.
Рассмотрим плоскую звуковую волну
S1 = a1 cos(ωt – k1z),
в области 1 z < 0.
На границе раздела (z = 0) волна разделяется на две:
прошедшую (S2) и отражённую (S′1).

200
0
S′1
Z
2
1
S1
S2

200
Прошедшая волна
S2 = a2 cos(ωt – k2z),
отражённая волна
S′1 = a′1 cos(ωt + k1z),
k1 ≠ k2, ʋ1 ≠ ʋ2.

200
Запишем граничные условия:
E1k1(a1 – a′1) = E2k2a2.
Это условие получено из условия равенства сил, действующих на границе со стороны одной среды на другую.

200
Из условия равенства сил
здесь

200
Порог слышимости (минимальная слышимая интенсивность звука)
I0 ≈ 10–12 Вт/м2,
Болевой порог
I ≈ 1012 I0.
Интенсивность звука выражают в децибелах:
β = 10log I/I0, 1010 I0 ÷ β = 100 дБ,
порог слышимости β0 = 0 дБ,
болевой порог β = 120 дБ.

200
Ударные волны
В случае малых возмущений среда линейна – волна синусоидальна. С ростом амплитуды возмущения среда теряет линейность, волна становится не синусоидальной. Участки с большим возмущением имеют большую скорость. Возникают волны различных частот. В этом случае говорят о взрывной волне.

200
Эффект Доплера – изменение частоты излучения при относительном движении источника и приёмника (верхний знак относится к сближению, нижний – к расхождению)

200
Здесь ν – частота принимаемого сигнала, ν0 – частота испускаемого сигнала, ʋзв – скорость сигнала (звукового или светового), u1 – скорость приёмника, u2 – скорость источника, α1 – угол между направлением на источник и движением приёмника, α2 – угол между направлением на приёмник и направлением движения источника.

200
И u2 α2 ʋзв α1 П
u1