Колебания и волны. Волновая оптика

Цель лекции – ознакомиться с методами количественного описания суперпозиции гармонических колебаний и их практическим применением.
Вопросы лекции:
Литература:
БЭУ; Доп. [1, стр. 208-220]; [2, стр. 168-184]
Техническое обеспечение:
Комплект мультимедийных средств обучения.
База данных анимаций физических процессов.
1. Геометрические способы представления гармонических колебаний.
2. Сложение гармонических колебаний одного направления одинаковой частоты. Биения.
3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.
4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний разных частот. Фигуры Лиссажу.

23.4. Геометрические способы представления гармонических колебаний.
Сложение колебаний – это нахождение закона результирующего колебания системы в случае, если она участвует одновременно в нескольких колебательных процессах.
При сложении гармонических колебаний одинаковой частоты их удобно представить в виде векторов на плоскости.
Вектор амплитуды:
► длина вектора соответствует амплитуде колебаний;
► угол поворота относительно оси соответствует фазе колебаний в данный момент времени.
ось

1) Метод векторных диаграмм
(метод вращающего вектора амплитуды)
Правила построения:
1. Задаем ось Os, вдоль которой будем отсчитывать значения переменной величины s.
2. Из точки s=0 оси направляем вектор A под углом ϕ0 к оси.
(ϕ0 – начальная фаза колебаний)
3. Вращаем вектор против часовой стрелки с угловой скоростью ω0.
(ω0 – собственная частота колебаний)
4. Проекция вектора А на ось Os изменяется по закону гармонических колебаний

2) Метод комплексного представления
Правила построения:
1. Значение переменной величины s задается точкой на комплексной плоскости:
действительная
мнимая
► А – модуль числа
(длина радиус-вектора точки)
► (ω0 t + ϕ0) – аргумент числа
(угол поворота радиус-вектора)
2. Выделяется действительная часть
( в тригонометрической форме):
изменяется по закону гармонических колебаний

► оба метода базируются на общем (геометрическом) способе представления колебаний и взаимно дополняют друг друга;
Замечания:
► метод вращающего вектора амплитуды более прост и нагляден, но имеет ограничение по числу колебаний т.к. требует построения векторной диаграммы;
► метод комплексного представления не имеет ограничений и позволяет описывать самые общие (в том числе абстрактные) случаи колебательных процессов.

23.5. Сложение гармонических колебаний одного направления одинаковой частоты.
Груз 1 массой m1 колеблется относительно груза 2 массой m2 на пружине a и вместе с ним на пружине b вдоль оси x.
На примере механических колебаний:
Результирующее колебание x также является гармоническим и имеет вид:
амплитуда
начальная фаза

Амплитуда А результирующего колебания
разность фаз
(23.18)
Начальная фаза ϕ0 результирующего колебания
(определяется через отношение суммы проекций векторов А1 и А2 на ось у к сумме проекций этих векторов на ось х)
(определяется по теореме косинусов)
(23.19)

Понятие о когерентности колебаний
Когерентными называются колебания одинакового направления и частоты, если их разность фаз остается неизменной во времени.
Частные случаи:
► Δϕ=0 ; ± 2π; …
наибольшее усиление колебаний
► Δϕ= ±π; ± 3π;…
наибольшее ослабление колебаний
Наложение когерентных колебаний приводит к явлению интерференции
(перераспределению энергии колебаний в пространстве).

Понятие о биениях
Биения – это результат сложения гармонических колебаний одинакового направления близких частот
Для простоты предположим:
Обозначим:
Результирующее смещение х:
где Δω<< ω0

По формуле суммы косинусов:
(23.20)
уравнение биений, которые можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой.
Амплитуда биений:
(23.21)
Период колебаний:
Период изменения амплитуды:
(период биений)

Графики биения:
“Метод биений” применяют в различных приборах для измерения частот, ёмкости, индуктивности, для настройки генераторов и т.д.
С помощью биений можно обнаружить чрезвычайно малые разности частот!

23.6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.
Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением параметра t:
На примере механических колебаний:
Для простоты предположим:

Траектория результирующего колебания:
плоскость колебаний
(23.22)
Вектор амплитуды за один период описывает в плоскости колебаний эллипс:
происходит эллиптическая поляризация колебаний!
Колебания называются поляризованными, если направление колебаний остается неизменным, или правильным образом изменяется в течение одного полного периода
Понятие о поляризации колебаний

Частные случаи:
► Δϕ=0 ; ±π; ± 2π; …
► Δϕ = ±π/2; ± 3π/2; …
уравнение траектории
эллиптическая поляризация
если при этом А=В
круговая поляризация
уравнение траектории
нечетное
четное
линейная поляризация

23.7. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний разных частот. Фигуры Лиссажу.
Если взаимно перпендикулярные колебания происходят с циклическими частотами pω0 и qω0, где p и q – целые числа:
и
то значение координат x и y одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени Т0.
Т0 равно наименьшему общему кратному периодов колебаний вдоль осей x и y:
и
Траектории результирующих колебаний - кривые, которые называются фигурами Лиссажу.

Пусть отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний равно 1:2 и разность фаз Δϕ = π/2.
Уравнения колебаний имеют вид:
Траектория представляет собой незамкнутую кривую, по которой точка движется туда и обратно.
Вид этих кривых сильно зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.
Пример:
и
фигура Лиссажу

(1:2)
(3:2)
(3:4)
(5:4)
(5:6)
(9:8)

Отношение частот складываемых колебаний
Разность фаз складываемых колебаний