Квантовая теория. Свойства операторов и принцип неопределенности Гейзенберга

Лекция IV
Свойства операторов и принцип неопределенности Гейзенберга

Собственной функцией Ψq, соответствующей собственному значению q оператора Q, называется функция, являющаяся решением уравнения

Свойства операторов, изображающих динамические переменные
Какие операторы допустимы для изображения переменных?

I.1 Линейность операторов.
I. Свойства операторов
Любая динамическая переменная
изображается линейным
оператором Фредгольма
1
2

I. Свойства операторов
Вещественная динамическая переменная классической механики в квантовой механике изображается самосопряженным или эрмитовым оператором!
I.2 Самосопряженность операторов

I.2 Самосопряженность операторов
Поскольку все значения q – вещественные q=q*, то ядро оператора - эрмитово:
3
4

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов
II.1 Вещественность собственных
значений
Собственные значения эрмитовых операторов вещественны.
5

II.1 Вещественность собственных
значений
6

Собственные функции эрмитовых операторов ортогональны:
II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность
7

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов
II.2 Ортогональность

II. Свойства собственных функций самосопряженных операторов
II.3 Собственные функции
самосопряженных операторов –
представляют состояния с фиксированным
значением соответствующей динамической переменной
8

Принцип неопределенности
Когда измерения совместны?

III. Принцип неопределенности
Пусть эрмитовы операторы
связаны соотношением:
Тогда имеет место следующее соотношение:
9
10

III. Принцип неопределенности
11

III. Принцип неопределенности
12

III. Принцип неопределенности
Поскольку:
то:
13
14

III. Принцип неопределенности
Пример
Операторы координаты и импульса
15

Пример
Операторы координаты и импульса
III. Принцип неопределенности
17
16

Свойства коммутирующих операторов
Что означает коммутативность?

Теорема 1.
Два произвольных эрмитовых оператора A и B обладают полным набором общих собственных функций тогда и только тогда, когда их коммутатор равен нулю:
18

Теорема I. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
Обладают полным набором общих собственных функций:
Тогда:

Поскольку это соотношение
выполняется для всех функций базиса ψk, то отсюда следует, что коммутатор равен нулю
Теорема I. Доказательство

Теорема I. Доказательство
Тогда пусть Ψk - собственные функции оператора A:
Обратное утверждение. Пусть операторы
коммутируют:

Теорема I. Доказательство
Тогда функция Φk =BΨk удовлетворяет уравнению:
Имеем:

Теорема I. Доказательство
Отсюда:
Следовательно :
Следовательно собственные функции оператора A являются собственными функциями оператора B:

Теорема 2.
Два произвольных эрмитовых оператора A и B обладают хотя бы одной общей собственной функцией тогда и только тогда, когда их коммутатор можно представить в следующем виде:
19

Теорема II. Доказательство
Прямое утверждение. Пусть операторы
обладают одной общей собственной функцией Ψ0:
Тогда:

Поскольку любой оператор вида
Теорема II. Доказательство
действует так, что
То всегда найдется оператор D такой что

Теорема II. Доказательство
Тогда пусть Ψ0 - собственная функция оператора B:
Обратное утверждение. Пусть операторы
удовлетворяют соотношению:
20
21

Теорема II. Доказательство
Следовательно функция Φ0 =AΨ0 удовлетворяет уравнению:
Из (20) имеем:
а из (21) получаем:

Теорема II. Доказательство
Отсюда:
Следовательно :
Следовательно собственная функция Ψ0 оператора B является собственной функцией оператора A.

Теорема II. Следствие
Из (20) имеем:
Пусть
Тогда:

Тогда функции Φk =BΨk являются собственными функциями оператора A1:
Теорема II. Следствие
22
23

Пример
Метод Дарбу

Рассмотрим следующие операторы:
Пример.
24
Вычислим коммутатор:

Пример.
25
При каких условиях коммутатор равен

Пример.
25

Пример.
если хотя бы одна собственная функция оператора A является собственной и для оператора B!
Ответ:
коммутатор равен

Пример.
26
27
Найдем собственные функции оператора A

Пример.
28

Пример.
29
Отсюда находим:
Или:
30

Пример.
30
Результат: если
Операторы A и B имеют одну общую собственную функцию и поэтому существует оператор D такой, что

Пример.
Вычислим оператор D.
Будем искать его в виде оператора умножения на функцию
31

Пример.
Тогда
32
Отсюда

Пример.
I
Отсюда следует:
II
33
34
35

Пример.
Окончательно:
36

Пример.
37

Пример.
Являются функции:
38

Пример.
Окончательно, функции
Являются собственными функциями A1
39
40

Следующая лекция
Стационарное уравнение Шредингера