Прямой метод решения уравнений в матричной форме. Организация итерационного процесса. Проблема сходимости численных схем

Теория переноса излучений
Ф8-01Н
Прямой метод решения уравнений в матричной форме
Рассмотрим уравнение в матричной форме в виде:
=
Диагональные компоненты матрицы положительны, в то время как недиагональные члены - отрицательны или равны нулю. Сумма недиагональных элементов в любом данном ряду меньше, чем диагональный элемент. Таким образом, матрица является неприводимой диагонально преобладающей. Следовательно, для матрицы существует обратная матрица , и решение уравнения можно записать в виде:
=

Теория переноса излучений
Ф8-01Н
Организация итерационного процесса
Запишем матрицу в виде суммы трех матриц: =
где – диагональная матрица (отличные от нуля элементы находятся только на основной диагонали), – верхняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся только выше основной диагонали) и – нижняя треугольная матрица (отличные от нуля элементы находятся ниже основной диагонали).
= ( + ) +
Итерационный процесс можно определить следующим образом:
= ( + ) +

Теория переноса излучений
Ф8-01Н
Проблема сходимости численных схем
Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока разность между потоками и на двух последующих итерациях не будет меньше заданного критерия. В зависимости от физических особенностей решаемой задачи и организованной итерационной схемы может возникнуть проблема сходимости или скорости сходимости итерационного процесса.

Теория переноса излучений
Ф8-01Н
Улучшенные итерационные методы
При расчете любой компоненты в правой части уравнения будут использоваться только значения потока из последней итерации, т. е. . Может оказаться, что после того, как рассчитана новая компонента , более предпочтительно использовать именно ее, а не для определения последующих компонент :
( – ) = +
Так как матрица ( – ) треугольная, включая основную диагональ, то можно легко найти обратную ей или решить уравнение относительно .