Lect_4

Работа. Мощность. Энергия.
Пусть тело под действием силы F совершает перемещение по некоторой траектории 1-2. В общем случае сила в процессе движения тела может меняться как по модулю, так и по направлению.

Рассмотрим элементарное перемещение, в пределах которого силу можно считать постоянной.
Элементарной работой силы на перемещении называется скалярная величина.
где - угол между векторами и ,
-элементарный путь,
-проекция вектора на вектор .

Суммируя (интегрируя) выражение
по всем элементарным участкам пути от точки 1 до точки 2, найдем работу силы F на данном пути:

Если сила имеет постоянные величину и направление, то вектор в выражении для работы можно вынести за знак интеграла, в результате чего получится формула
Если сила и направление перемещения образуют острый угол (cos >0), работа положительна. Если угол - тупой (cos <0), работа отрицательна. При работа равна 0.

Единица работы – джоуль (Дж). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1м (1 Дж=1Н∙1м ).

Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.
Мощность – это работа, совершаемая силой за единицу времени:
Если за время dt сила F совершает работу , то мощность, развиваемая этой силой в данный момент времени есть

Учитывая, что , получим
Таким образом, мощность, развиваемая силой , равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы.

Мощность – скалярная величина. Единица мощности – ватт (Вт):
1 Вт – мощность при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).

Существуют различные формы движения материи – механическая, тепловая, электромагнитная, ядерная и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других – переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое).
Универсальной мерой различных форм движения является энергия. Во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

В механике различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.
Кинетическая энергия – это механическая энергия движущегося тела.
Пусть частица массы m движется под действием некоторой силы F. Найдем элементарную работу этой силы на перемещении
.

Таким образом,
То есть работа силы идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках). Эту величину называют кинетической энергией.
Таким образом, кинетическая энергия это механическая энергия, которой обладает тело массой m, движущееся со скоростью v.

При конечном перемещении из точки 1 в точку 2 работа силы идет на приращение кинетической энергии:
Если , то , т.е. кинетическая энергия частицы увеличивается; если же , то кинетическая энергия уменьшается.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие между телами осуществляется с помощью силовых полей (например, поле гравитационных сил, поле упругих сил), которые обладают следующим свойством: работа, совершаемая силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от траектории тела, а зависит только от начального и конечного положения тела.
Такие силы называются консервативными. Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории тела, то такая сила называется диссипативной; ее примером является сила трения.

Тело, находящееся в поле консервативных сил, обладает потенциальной энергией EП. Работа консервативной силы определяется разностью потенциальной энергии тела в начальной и конечной точках пути. При элементарном перемещении работа равна приращению потенциальной энергии.
Знак (-) говорит о том, что работа совершается за счет
убыли потенциальной энергии.

Работа консервативных сил на конечном участке пути 1 – 2
Потенциальная энергия – функция, которая определяется с точностью до прибавления некоторой произвольной постоянной. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно, ибо во все формулы входит только разность значений EП в двух положениях частицы. Поэтому выбирают нулевой уровень отсчета энергии, т.е. потенциальную энергию тела в каком – то определенном положении считают равной нулю. Энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня.

Конкретный вид функции EП зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна работе силы тяжести при падении тела на Землю, т.е.
Здесь за нуль принята потенциальная энергия тела, лежащего на Земле.

Потенциальной энергией может обладать не только система тел, но и отдельно взятое упруго деформированное тело – пружина. В этом случае потенциальная энергия зависит от степени сжатия пружины, т.е. от взаимного расположения витков пружины.
Когда пружина деформирована, в ней возникает сила упругости
(закон Гука), где x – величина сжатия или растяжения пружины, k – коэффициент жесткости пружины.

При возвращении пружины из деформированного в недеформированное состояние сила упругости совершает работу
Если потенциальную энергию пружины в недеформированном состоянии условиться считать равной нулю, то

Полная механическая энергия системы
E=EK + EП ,
т.е. равна сумме кинетической и потенциальной энергий

Связь между потенциальной энергией и силой.
Потенциальная энергия тела зависит от его координат: EП = EП (x, y, z).
Зная вид этой функции, можно найти силу, действующую на тело.
Установим связь между потенциальной энергией и силой.

Рассмотрим перемещение тела под действием силы F. Разложим силу на три составляющие вдоль координатных осей и рассмотрим работу каждой составляющей силы.
Итак, работа по перемещению тела в направлении оси x на пути dx:

Эту работу можно представить как убыль
потенциальной энергии:
Из сравнения последних выражений имеем:
Отсюда
Здесь - производная функции EП (x,y,z,), вычисленная в предположении, что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь величина x.

Такие производные называются частными и обозначаются символом
Итак,
Эти три формулы можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим их на единичные векторы координатных осей
и сложим:

Или
Выражение, стоящее в скобках, называют градиентом функции и обозначают
Сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. Знак (-) означает, что сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Потенциальные кривые.
Условия равновесия механической системы.
Рассмотрим материальную точку, положение которой может быть определено с помощью одной величины, например, координаты x, т.е. потенциальная энергия точки является функцией . Графическая зависимость потенциальной энергии от координаты x называется потенциальной кривой. Зная вид функции EП(x), можно сделать ряд заключений о характере движения частицы.

В качестве примера рассмотрим шарик, скользящий без трения по изогнутой в вертикальной плоскости проволоке.
На шарик действует консервативная сила – сила тяжести. График потенциальной энергии EП(x) показан на рис. б.

Полная энергия шарика E изображена на графике горизонтальной линией, поскольку имеет место закон сохранения энергии E=Eк+Eп.
Частица может находится только там, где , т.е. в областях от x1 до x2 или от x3 до бесконечности.

В области x < x1 и x2 < x < x3 частица проникнуть не может, т.к. потенциальная энергия не может стать больше полной энергии.
Таким образом, область x2 < x < x3 представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть при данном запасе полной энергии. Область x1 < x < x2
называется потенциальной ямой.

Минимуму потенциальной энергии соответствует на графике точка с координатой x0. Условие минимума потенциальной энергии имеет вид
Поскольку действующая на частицу сила, то в точке x0 Fx =0.