Система сходящихся сил

Основные понятия статики
Совокупность сил, приложенных к какой-либо механической системе, называется системой сил.
Две равные по модулю силы, приложенные в какой-либо одной точке тела и направленные в противоположные стороны, дают равнодействующую, равную нулю. Поэтому такая система сил называется эквивалентной нулю.
Аксиома 1. Система двух равных по модулю сил, приложенных в двух точках абсолютно твердого тела и направленных по соединяющей эти точки прямой в противоположные стороны, находится в равновесии.
Аксиома 2. Действие какой-либо системы сил не нарушится, если к ней прибавить или от нее отнять систему сил, эквивалентную нулю.
Аксиома отвердевания:
Равновесие любой механической системы не нарушается от наложения новых связей, в частности, оно не нарушается при внезапном превращении системы в абсолютно твердое тело.

Одной из простейших систем сил является система, все силы которой приложены в одной точке.
Такая система сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме сил.
К этому же случаю сводится и всякая система т.н. сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Система может быть заменена равнодействующей:

Простейший способ нахождения векторной суммы – сложение векторов по правилу многоугольника
Полученная таким образом ломаная линия в случае сложения сил называется силовым многоугольником.
Сумма представляет собой вектор, начало которого находится в начале первого вектора, а конец – в конце последнего.
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась нулю:
При равновесии системы сходящихся сил силовой многоугольник должен быть замкнутым.

В проекциях на оси координат условие равновесия дает три уравнения равновесия:
Если сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то число уравнений равновесия сокращается до двух.
Задачи статики, в которых число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия, называются статически определимыми. В противном случае задачи являются статически неопределимыми и для их решения необходимо привлекать дополнительные соотношения
Для того, чтобы задачи на равновесие тел, находящихся под действием сходящихся сил, были статически определимыми, число неизвестных в общем случае не должно превышать трех, а когда силы лежат в одной плоскости - двух.

Для решения задач крайне полезной оказывается теорема о трех силах:
Если под действием трех сил, лежащих в одной плоскости, твердое тело находится в равновесии, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Данная теорема часто используется в случаях, когда какое-либо тело находится под действием плоской системы трех сил, и надо найти направление одной из них.

Пример
Однородный брус АВ весом Р. Конец А закреплен шарниром, в точке D подставлен уступ.
Брус находится под действием трех сил:
силы тяжести P, приложенной в его центре и направленной вертикально вниз
реакции опоры D ND, направленной перпендикулярно брусу
реакции шарнира RA
Чтобы найти направление реакции RA, строят точку пересечения сил P и ND – это точка О.
На основании теоремы о трех силах, вектор RA должен лежать на прямой АО.

Порядок решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил
изобразить все силы, действующие на тело, включая реакции опор и связей;
если число сил равно трем – изобразить их в виде замкнутого треугольника, из которого чисто геометрическими соображениями найти неизвестные величины;
если число сил больше трех – составить систему уравнений равновесия (через проекции сил) и решить ее. При этом систему координат следует выбирать таким образом, чтобы получившаяся система была как можно проще.

Примеры решения задач

Задача №1
Стержни AC и ВС соединены между собой и с вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С действует вертикальная сила Р = 1000 Н.
Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: α = 30° и β = 60°

Силы, действующие на шарнир С:
сила Р, приложенная в точке С и направленная вертикально вниз,
реакция стержня ВС RB, направленная вдоль стержня и не дающая точке С приблизиться к стене
реакция стержня АС RA, направленная вдоль стержня и не дающая точке С опуститься вниз.

После определения направления сил строится силовой треугольник с соблюдением углов между силами.
Сначала строится вектор известной силы (в этой задаче – Р)
Через конец вектора Р проводится пунктирная линия, параллельная любой из неизвестных сил (в данном случае – RB)
Через начало вектора Р проводится пунктирная линия, параллельная оставшейся из неизвестных сил (в данном случае – RА)
Пунктирные стороны получившегося треугольника заменяются векторами неизвестных сил

Из-за значений углов треугольник получился прямоугольным.
Поэтому

Задача №2
Оконная рама АВ, изображенная в разрезе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза. Найти реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен к середине С рамы, и угол между рамой и вертикалью равен 45°

Силы, действующие на раму:
вес рамы Р, приложенный в точку С и направленный вертикально вниз,
реакция уступа В RB, направленная вверх перпендикулярно раме АВ,
реакция шарнира А RA, направленная вверх по направлению, которое необходимо определить.
Для определения направления реакции шарнира А используется теорема о трех силах, согласно которой линии действия всех трех сил пересекаются в одной точке

После определения направления сил строится силовой треугольник с соблюдением углов между силами.

Угол α определяется из ΔАСК по теореме синусов
Из рисунка видно:
После подстановки в теорему синусов:
откуда

Решение уравнения

Применяем теорему синусов к силовому треугольнику:
откуда

Задача №3
Для трехшарнирной арки, показанной на рисунке, определить реакции опор А и В, возникающие при действии горизонтальной силы Р. Весом арки пренебречь.

Общий метод решения подобных задач
В рассматриваемой задаче арка разделяется на две полуарки: левая АС и правая ВС.
На левую часть действуют три силы: горизонтальная сила Р, реакция шарнира А и сила, с которой на эту часть действует полуарка ВС.
На правую часть (полуарку ВС) действуют всего две силы: сила реакции в шарнире В и сила, с которой на нее действует левая полуарка АС.
Систему тел разделяют на отдельные элементы (тела) и для каждого составляют уравнения равновесия. При этом влияние тел друг на друга учитывают через силы, действующие в местах разделения системы.

На основании первой аксиомы силы,действующие на правую полуарку, должны быть направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны и равны друг другу
RC = RB;
Угол, под которым они направлены к горизонту, равен 45°.

Силы, действующие на левую полуарку
Сила Р
Сила со стороны правой полуарки
Согласно третьему закону Ньютона, эта сила равна по модулю и противоположна по направлению силе RC
Сила RA
Направление силы RA определяется по теореме о трех силах.