лекция 1 (2)

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.2 Закон Кулона
Взаимодействие точечных зарядов и заряженных тел сферической формы подчи-няется закону Кулона, который был получен им в 1785 году экспериментально. С помощью крутильных весов измерялась сила взаимодействия между зарядами и их величины. Сила взаимодействия двух точечных неподвижных электрических зарядов в вакууме пропорциональна величине каждого из них и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (рис.1).
Рис.1
Рис.1
где k – коэффициент пропорциональности, определяемый экспериментально. В системе СИ за единицу заряда принимают 1 кулон (определение которого будет
дано позже), а коэффициент Его можно записывать в виде где - электрическая постоянная
Единица емкости фарада (Ф) будет определена позже.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
В векторной форме закон Кулона записывается в виде
В диэлектриках сила взаимодействия зарядов уменьшается
где ε - диэлектрическая проницаемость среды. Она показывает во сколько раз сила взаимодействия двух зарядов в среде меньше силы взаимодей-ствия тех же зарядов на том же расстоянии в воздухе.
1.3 Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции электрических полей
Определим электрическое поле следующим образом: если внести в пустое пространство заряд q, свойства пространства изменятся, и в нем возникнет электрическое поле. Оно будет проявляться в действии определенной си-лы на внесенный в поле на расстоянии r другой (пробный) электрический заряд . Для поля точечного заряда q эта сила определяется законом Кулона.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
В каждой точке поля сила F будет иметь разное значение и ее можно использовать для задания поля. Однако, пробный заряд не имеет никакого отношения к рас-сматриваемому электрическому полю. Его можно исключить, разделив значение силы на величину пробного заряда.
Полученная величина называется напряженностью электрического поля. Для то-чечного заряда она равна Напряженность электрического поля являет-
ся силовой характеристикой поля. Зная напряженность поля, можно определить силу, действующую на заряд в любой его точке Таким образом, напряженность электрического поля равна силе, действующей на единичный положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля.
Электрическое поле принято описывать с помощью линий напряженности, каса-тельная в каждой точке которых определяет направление напряженности поля. Величина напряженности определяется числом линий, проходящих через площа-дку единичной площади. Чем гуще идут линии, тем больше напря-
женность поля. На рис.2 через площадку S1 проходит 2 линии, а
через такую же по площади площадку S2 4 линии, поэтому напря-
ряженность поля у площадки S2 будет больше.
Рис.2

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Линии напряженности начинаются на положительных зарядах и заканчи-ваются на отрицательных зарядах или уходят в бесконечность. Линии напряженности могут приходить из бесконечности и заканчиваться на отрицательных зарядах (рис.3).
Рис. 3
Принцип суперпозиции электрических полей
Если в пространстве имеется несколько электрических полей, то напряженность результирующего поля определятся векторной суммой напряженностей этих полей

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.4 Потенциал электростатического поля. Принцип суперпозиции для потенциала
Пусть электрическое поле создается положительным точечным зарядом q, и в нем перемещается положительный точечный пробный заряд ((рис.4).
Рис.4
Работа при бесконечно малом перемещении заряда по определению равна . Подставляя сюда выражение для силы из закона Кулона, получим:
.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Из полученного результата видно, что работа не зависит от пути перемещения заряда , а определяется только его начальным и конечным положением, т.е. электростатическое поле является потенциальным, а его силы консервативны. Работа по перемещению заряда в электростатическом поле по замкнутому пути равна нулю.
откуда - циркуляция вектора напряженности электрического поля равна нулю.
Работа консервативных сил электростатического поля по перемещению заряда равна изменению потенциальной энергии заряда в этом поле, которая в рассмат-риваемом случае равна . Потенциальная энергия характеризует
электрическое поле в каждой его точке и может быть использована как энергети-ческая характеристика поля заряда q. Пробный заряд, не имеющий отношения к полю, можно исключить, разделив потенциальную энергию на . Полученную величину называют потенциалом электрического поля . Для поля точеч-ного заряда
Выражая работу через потенциальную энергию и потенциал, получим:
.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Рассмотрим работу по перемещению заряда из данной точки в бесконечность:
Если принять , то потенциал в данной точке электростатического поля определяется как работа, совершаемая силами поля по перемещению единичного положительного пробного заряда из данной точки в бесконечность.
Принцип суперпозиции для потенциала
Если в пространстве имеется несколько электрических полей, то потенциал результирующего электростатического поля определятся алгебраической суммой потенциалов этих полей .
Единицы потенциала
Размерность работы связана с размерностью потенциала соотношением
откуда 1Дж = 1Кл 1В и

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Из соотношения получим:
где - проекция напряженности поля на направление перемещения .
Тогда , а . Если
(поле однородно), то где d- расстояние между точками
1 и 2 по прямой.
При перемещении по оси х по оси y и по оси z
Для вектора имеем:
или .
Градиент – вектор, направление которого совпадает с направлением, в котором рассматриваемая величина при смещении из данной точки воз-растает с максимальной скоростью.
Поверхность равного потенциала называется эквипотенциальной.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
При смещении вдоль касательной к такой поверхности на бесконечно малую величину потенциал не меняется, поэтому . Производная
с точностью до знака равна проекции вектора на направление к
поверхности и равно нулю. Следовательно, тангенциальная составляющая
равна нулю и вектор перпендикулярен поверхности.
Примеры решения задач
Задача 1. Два одинаковых заряженных шарика, имеющих заряды = q1= -5 нКл и q2 = 25 нКл, приводят в соприкосновение и вновь разводят на прежнее расстояние. Найдите, во сколько раз уменьшилась величина их силы взаимодействия.
Решение. При соприкосновении одинаковых шариков их суммарный заряд распределится поровну. По закону сохранения заряда
q1 + q2 = 2q и на каждом шарике окажется заряд q =+10 нКл. Вначале сила взаимодействия между зарядами равна , , а после
соприкосновения .

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Сила взаимодействия уменьшится в раза.
Задача 2. Два одинаковых маленьких шарика с одинаковыми заря-дами подвешены на изолирующих нитях равной длины к одной точке. При заполнении окружающей среды моторным маслом угол расхождения нитей не изменился. Найдите плотность материала шариков. Диэлектри-ческая проницаемость ε масла 3, его плотность кг/м3.
Рис. 5а Рис. 5б
Решение. В воздухе (рис.5а) на каждый шарик действуют сила натяжения нити, сила тяжести и кулоновская сила со стороны другого шарика. Сумма двух последних сил равна по модулю силе натяжения нити.
Тангенс угла отклонения нити от вертикали . При погружении

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
системы в масло (рис.5б) на шарик дополнительно действует сила Архи-меда, а кулоновская сила в масле уменьшается. Так как угол α не меняется, то . Преобразуя это равенство, получим ,
где - плотность масла.
Задача 3. Два точечных заряда + 4 нКл и – 4 нКл находятся на рас-стоянии r= 50 см друг от друга (рис.6) Найдите величину напряженности электрического поля в точке, находящейся на расстоянии =60 см от первого заряда и на расстоянии =80 см от второго.
Рис. 6
Решение. Суммарная напряженность электрического поля в рассматриваемой точке определяется по теореме косинусов

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
где - напряженность от первого заряда, -
напряженность от второго заряда (рис.6).
Угол α найдем, записав еще раз теорему косинусов для сторон треугольника откуда
Окончательно получим
Задача 4. Потенциал поля, создаваемого некоторой системой заря-
дов, зависит от координат по закону φ = a(x2+y2) – bz2, где a = 5 В/м2,
b = 10 В/м2. Найдите модуль вектора напряженности поля в точке с координатами (1;1;1). Координаты указаны в метрах.
Решение. Напряженность и потенциал электрического поля связаны соотношением .
.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Дифференцируя потенциал и подставляя в выражение для , получим
Задача 5. Положительные заряды =30 нКл и =6 нКл находятся в вакууме на расстоянии 30 см друг от друга. Найдите работу, которую нужно совершить, чтобы сблизить эти заряды до расстояния 9 см. Решение. Будем считать, что заряд создает электрическое поле, а заряд в нем перемещается. Тогда работа А сил поля по перемещению
заряда равна
Задача 6. В электрическом поле движется заряженная частица. В точке поля с потенциалом 300 В частица имела скорость =105 м/с, а в точке с потенциалом, в n раз меньшим, скорость в ней была n раз больше. Удельный заряд частицы (отношение заряда к массе) равен 108 Кл/кг. Найдите по этим данным величину n.
Решение. Запишем закон сохранения энергии:

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
. Преобразуем это уравнение к виду: Решая это квадратное уравнение,
получим n =2.
Задача 7. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов
U=5 кВ, в начале координат влетает под углом к горизонту в однородное электрическое поле с напряженностью E=40 кВ/м, направ-ленное вертикально вниз. Через какое время ее координата y снова будет равна нулю. Ее удельный заряд = 108 Кл/кг, силу тяжести не учитывать.
Решение. Пройдя ускоряющую разность потенциалов, частица получит кинетическую энергию и будет двигаться в
направленном вниз электрическом поле с постоянным ускорением . Координата y частицы будет зависеть от времени следующим образом