Лекция 3

Темы для СРС:
Пружинный маятник. Затухающие колебания. Характеристики затухающих колебаний.
Вынужденные колебания.
Амплитуда и фаза колебаний. Резонанс.

1. Колебания. Основные понятия
Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.
Возвращающая сила - сила, под действием которой происходит колебательный процесс. Эта сила стремится тело или материальную точку, отклоненную от положения покоя, вернуть в исходное положение.
В зависимости от характера воздействия на колеблющееся тело различают свободные (или собственные) колебания и вынужденные колебания.
Свободные колебания имеют место тогда, когда на колеблющееся тело действует только возвращающая сила. В том случае, если не происходит рассеивания энергии, свободные колебания являются незатухающими. Однако, реальные колебательные процессы являются затухающими, т.к. на колеблющееся тело действуют силы сопротивления движению (в основном силы трения).
Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которую называют вынуждающей. Во многих случаях системы совершают колебания, которые можно считать гармоническими.

1.1 Гармонические колебания

1.1 Гармонические колебания

1.1 Гармонические колебания

1.2 Скорость и ускорение колебаний

1.3 Математический маятник.

1.3 Вывод закона движения математического маятника

1.4. Физический маятник
Физический маятник - твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной оси (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

1.4 Вывод закона движения
физического маятника

Определение. Центр качения – математическая точка, в которой можно сосредоточить всю массу физического маятника, при этом его период не изменится.
Следствия:
1) Точка подвеса и центр качения лежат по разные стороны от центра масс.
2) всем точкам подвеса, одинаково удаленным от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведенная длина, и соответственно, один и тоже период колебаний.

2.1 Пружинный маятник.
Затухающие колебания

2.1 Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний
линейной системы задается в виде: (1)
где s – колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, = const – коэффициент затухания, – циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т.е. при (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы
Решение уравнения рассмотрим в виде: , где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения и подстановки их в (1) получим
Решение этого уравнения зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:
Тогда получим уравнение
Решением его является функция
Таким образом, решение уравнения (1) в случае малых затуханий есть
где – амплитуда затухающих колебаний, - начальная амплитуда

2.2 Характеристики
затухающих колебаний
Время релаксации – Промежуток
времени , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз
если затухание мало, то
Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение
называется декрементом затухания, а его логарифм логарифмическим декрементом затухания;
N – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.
Логарифмический декремент затухания – постоянная величина для данной колебательной системы
Добротность Q, при малых значениях логарифмического декремента равна
добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время релаксации

2.3 Пример (пружинный маятник)
Для пружинного маятника массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F=-kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е.
где – коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости
При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид
Используя и принимая, что коэффициент затухания
Получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:
маятник колеблется по закону
с частотой
Добротность пружинного маятника
При увеличении коэффициента затухания период затухающих колебаний растет и при обращается в бесконечность, т.е. движение перестает быть периодическим.
В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда . Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим

3.1 Вынужденные колебания
Чтобы в реальной механической колебательной системе полу-
чить незатухающие колебания, надо компенсировать потери
энергии. Такая компенсация возможна с помощью периодически действующей вынуждающей силы, изменяющейся по гармоническому закону:
С учетом силы закон движения для пружинного маятника запишется в виде
Используя соответствующие обозначения, придем к уравнению
Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными механическими колебаниями

3.1 Вынужденные колебания

3.1 Вынужденные колебания
Это комплексное число удобно представить в
экспоненциальной форме: где (3)
и (4)
Следовательно, решение уравнения (2) в комплексной форме примет вид:
Его вещественная часть равна где A и φ задаются соответственно формулами (3), (4).
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (1) имеет вид
(5)
Решение уравнения (1) равно сумме общего решения однородного уравнения (6) и частного решения (5).
Слагаемое (6) играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определяемого равенством (3). Следовательно, в установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой и являются гармоническими; амплитуда и фаза колебаний, определяемые выражениями (3) и (4) также зависят от

3.2 Амплитуда и фаза
вынужденных колебаний.
Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты
Из следует, что амплитуда А смещения имеет максимум.
Резонансная частота - частота, при которой амплитуда А смещения достигает максимума
Для ее нахождения нужно найти максимум функции(минимум подкоренного выражения)
Продифференцировав подкоренное выражение по и приравняв нулю, получим условие :
Это равенство выполняется при и ,у которых только лишь положительное значение имеет физический смысл
Следовательно, резонансная частота

3.2 Резонанс
Резонанс механический - явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте
(1) при значение совпадает с собственной частотой
Подставим (1) в :
чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой
Если , то все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению
- статическому отклонению
Если , то все кривые асимптотически стремятся к нулю и называется резонансными кривыми
зависимость амплитуды вынуж- денных колебаний от частоты при различных значениях

3.2 Резонанс. Амплитуда скорости
Из вытекает, что при малом затухании резонансная амплитуда смещения
где Q – добротность колебательной системы
- статическое отклонение
добротность Q характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем больше Q, тем больше
Амплитуда скорости
максимальна при
И равна т.е. чем больше коэффициент затухания,
тем ниже максимум резонансной кривой
Из выражения следует, что если затухание в системе
отсутствует, то только в этом случае колебания и вынуждающая сила
имеют одинаковые фазы
резонансные кривые для амплитуды скорости

3.2 Резонанс.
Зависимость φ от ω при разных коэффициентах δ
при изменении ω изменяется и сдвиг фаз φ
Из вытекает, что при ω=0 φ=0
при ω0=0 независимо от значения коэффициента затуха-
ния т.е. сила опережает по фазе колебания на
π/2
При дальнейшем увеличении ω сдвиг фаз возрастает и при
т.е. фаза колебаний почти противоположна фазе внешней силы.
Семейство кривых, изображенных на рис., называется фазовыми резонансными кривыми

3.3 Применение резонанса.
Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными
При конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота их колебаний не совпадала с частотой возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения
С другой стороны, наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с частотой собственных колебаний прибора. Так, радиотехника, прикладная акустика, электротехника, используют явление резонанса

3.3 Применение резонанса.
Явления резонанса могут приводить к серьезным разрушениям. Так в 1940г в США висячий мост Тэйкома обрушился из-за автоколебаний, вызванных ветром.
Применение резонанса:
- Для измерения частоты вибраций (частотомеры)
- В акустике
- При расчетах мостов, балок, станков, перекрытий

3.3 Применение резонанса.