Магнитное поле. Лекция 19. Закон Био-Савара-Лапласа. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Электрическое поле – одна из сторон электромагнитного поля, создаваемая
электрическими зарядами и
изменяющимся магнитным полем и передающая действие электрических сил.
Электростатика изучает взаимодействие неподвижных зарядов и свойства постоянного электрического поля.
Электродинамика – рассматривает явления и процессы, обусловленные движением электрических зарядов.

Опыт Эрстеда
Эрстед помещал над магнитной стрелкой прямолинейный металлический проводник, направленный параллельно стрелке.
При пропускании через проводник электрического тока магнитная стрелка поворачивалась почти перпендикулярно проводнику.
При изменении направления тока стрелка разворачивалась на 180°.
Аналогичный разворот наблюдался, если провод переносился на другую сторону, располагаясь не над, а под стрелкой.
Эрстед
Ханс Кристиан
1777 - 1851

1. Ориентация контура в пространстве характеризуется направлением нормали к контуру.
2. В качестве положительного направления нормали принимается направление, связанное с током правилом правого винта (правилом правого буравчика).

3. Магнитное поле оказывает на рамку с током ориентирующее действие, поворачивая её определённым образом.
За направление магнитного поля в данной точке принимается направление:
а. вдоль которого располагается положительная нормаль к свободно подвешенной рамке с током,
б. направление, совпадающее с направлением силы, действующей на северный полюс магнитной стрелки, помещенный в данную точку поля.

Силовые линии выходят из северного полюса магнита и входят в южный полюс.
Cиловых линий магнитного поля
вокруг постоянного магнита.

Пусть контур с током помещён в магнитное поле, причём он может вращаться вокруг вертикальной оси OO’.
Рамка с током в магнитном поле
Вид с боку
Вид сверху

S – площадь поверхности контура (рамки);
I – сила тока в рамке;
– единичный вектор нормали к поверхности рамки.
Вектор магнитного момента рамки с током
Направление совпадает с направлением положительной нормали!

На боковые стороны рамки с током со стороны магнитного поля будут действовать силы АМПЕРА
Эти силы стремятся повернуть рамку так, чтобы вектор магнитного момента стал сонаправлен с вектором магнитной индукцией
Возникает вращающий момент
Вращающий момент сил действующий на виток с током в однородном магнитном поле

Если в данную точку магнитного поля помещать рамки с различными магнитными моментами, то на них действуют различные вращающие моменты, но отношение
для всех контуров одно и то же.
Магнитная индукция – ВФВ,
модуль которой определяется выражением
Направление задаётся равновесным положением положительной нормали к контуру.

Магнитная индукция в данной точке однородного магнитного поля определяется максимальным вращающим моментом, действующим на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Линии магнитной индукции всегда замкнуты
и охватывают проводники с током.
электрического поля
магнитного поля
Силовые линии
касательные к которым совпадают с направлением вектора напряжённости
это линии,
касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением вектора магнитной индукции
Линии напряжённости
всегда разомкнуты
(они начинаются на положительных и заканчиваются на отрицательных зарядах).

Направление линий магнитной индукции
Правило правого буравчика
Головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, вращается в направлении линий магнитной индукции

1. магнитное поле действует на движущиеся заряды (электрический ток);
2. движущиеся заряды (электрический ток) создают магнитное поле.
Магнитное поле
Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток зависит от:
1) формы проводника, по которому течёт ток;
2) расположения проводника;
3) направления тока.
Электростатическое поле действует как на движущиеся, так и на неподвижные заряды.
Из опыта известно:

Магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами (движущимися зарядами), равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом.
Принцип суперпозиции магнитных полей
Однородное магнитное поле – поле, во всех точках которого вектор магнитной индукции равен по модулю и направлению.

Закон Био-Савара-Лапласа
– радиус-вектор, проведённый из элемента проводника в точку А;
μ – магнитная проницаемость;
μ0 – магнитная постоянная.
Направление перпендикулярно
и и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.
Направление
всегда совпадает
с направлением тока I

Проанализируем формулу

Модуль вектора определяется выражением
(для вакуума).
Био
Жан Батист
1774 - 1862
Лаплас
Пьер Симон
1749 - 1827

Примеры расчёта некоторых магнитных полей
Прямой проводник бесконечной длины создаёт магнитное поле вокруг себя.
Рассчитаем величину магнитного поля в точке А.
Магнитное поле прямого тока
Векторы от любого элемента длины dl проводника в точке A имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа к «нам».
Исходя из принципа суперпозиции, имеем:

В качестве переменной интегрирования выберем угол α, выразив через него все остальные величины:
Подставляем полученные выражения в формулу Био-Савара-Лапласа,

Магнитное поле проводника в виде отрезка

Круговой проводник создаёт магнитное поле вокруг себя. Рассчитаем величину магнитного поля в центре.
Магнитное поле в центре кругового проводника с током
Все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали от витка. Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей.
Все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sinα=1) и
расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно r=R, то

тогда

Исходные условия. Круговой проводник создаёт магнитное поле вокруг себя. Рассчитаем величину магнитного поля в точке A.
4) Магнитное поле на оси кругового проводника с током
R – радиус кругового проводника;
L – длина проводника;
– элемент длины проводника;
- радиус-вектор, проведенный от в точку A.
α – угол между x и ;
x – расстояние от центра окружности до точки A.

На расстоянии r от центра витка вдоль оси витка, магнитное поле будет равно

Вектор напряжённости магнитного поля
Макроскопические токи – электрические токи, протекающие по проводникам в электрических цепях.
Микроскопические токи – электрические токи, обусловленные движением электронов в атомах и молекулах.
Магнитное поле макротока описывается вектором напряжённости магнитного поля
Вектор магнитной индукции характеризует результирующее магнитное поле, создаваемое всеми макро- и микротоками.

Связь между векторами магнитной индукции и напряжённостью магнитного поля
Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции
где μ0 – магнитная постоянная;
μ – магнитная проницаемость среды, безразмерная величина, показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счет поля микротоков среды.

электрического поля
магнитного поля
Векторные характеристики
Вектор напряжённости
Вектор магнитной индукции
Вектор электрического смещения
Вектор напряжённости магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции
Циркуляцией вектора по замкнутому контуру L называется следующий интеграл по этому контуру:
– элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура;
α – угол между векторами и .

Циркуляция вектора по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром
n – число проводников с токами, охватываемых контуром произвольной формы.
Теорема о циркуляции вектора
магнитной индукции в вакууме

1) Эта теорема справедлива только для поля в вакууме.
2) Каждый ток учитывается столько раз, сколько он охватывается контуром.
3) Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта.
Пример.

электрического поля
магнитного поля
Циркуляция вектора
по произвольному замкнутому контуру L
поле является потенциальным
поле называется
вихревым

Примеры применения
теоремы о циркуляции вектора
Магнитное поле прямого тока
Замкнутый контур представлен в виде окружности радиуса r.
В каждой точке этой окружности вектор магнитной индукции одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности:

магнитное поле соленоида в вакууме
Соленоид – свёрнутый в спираль изолированный проводник, по которому течёт электрический ток.
Циркуляция вектора по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, равна
Соленоид имеет длину l, состоит из N витков.

На участках AB и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции, следовательно, Bcos900=0. Можно показать, что вне бесконечного соленоида магнитное поле B=0. На участке DA контур совпадает с линией магнитной индукции, внутри соленоида поле однородно (Bcos00=B), поэтому

3) магнитное поле тороида в вакууме
Тороид - кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.
Линии магнитной индукции есть окружности, центры которых расположены на оси тороида. В качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r.
Магнитное поле отсутствует вне тороида, а внутри его оно является однородным.
По теореме о циркуляции
N – число витков тороида.