Лекция 3(ОИ) (студентам)

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
или
(2)
Формулы (1) и (2) называют интегралами Дюамеля.
На основании теоремы 10
Теперь применим теорему о дифференцировании оригинала
так как f(0)=0, то получаем
С учетом (2) получаем формулу для производной свертки
Что и требовалось доказать.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 12 (умножение оригиналов): Если f1(t) и f2(t) являются функциями оригиналами с показателями роста соответственно a1 и a2, и F1(p) и F2(p) их соответствующие изображения, то изображением их произведения является
где Req=σ>a1 и Rep>a2+σ.
Доказательство. Произведение двух функций оригиналов также является функцией оригиналом (доказать самостоятельно).
По условию
Изображение произведения считаем по формуле
(3)

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Функцию f1(t) можно определить следующим образом, используя интеграл Бромвича:
Подставляем это выражение в (3), получаем
Меняем порядок интегрирования
По условию Req=σ>a1 и Rep>a2+σ, и следовательно Re(p-q)>a2. Тогда

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Получаем:
Что и требовалось доказать.
Замечание: Величина σ может быть сколь угодна близка к a1. Поэтому можно считать, что произведение функций оригиналов f1(t) и f2(t) определено для значений p, удовлетворяющих неравенству Rep>a, где a= a1+a2 – показатель роста функции произведения.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 13 (обобщенная теорема умножения изображений): Если изображением функции оригинала f(t) является функция F(p) и заданы аналитические функции Ф(p) и q(p), такие что
Тогда выполняется следующее соотношение
Доказательство.
Рассмотрим интеграл
Его преобразование Лапласа имеет вид

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Поменяем порядок интегрирования
Используя условие теоремы
получаем
Так как
то
Что и требовалось доказать.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Замечание: Если в теореме принять в качестве q(p)=p, а φ(t,τ)=φ(t-τ), то получим теорему о преобразовании свертки (умножении изображений).
Доказать самостоятельно.
Теорема 14 (обобщенная теорема умножения оригиналов): Если известны изображения функций оригиналов
тогда изображением функции является
Доказательство.
Рассмотрим интеграл
Найдем его функцию оригинал, используя интеграл Бромвича.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Меняем порядок интегрирования
Что и требовалось доказать.
Замечание: Если в теореме 14 принять в качестве q(t)=t, то получим теорему об изображении произведения оригиналов (теорема 12).
Доказать самостоятельно.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Теорема 15: Пусть выполнены следующие условия:
1)
2)
3) Функция q(p) является аналитической и регулярной в полуплоскости
Причем
Тогда оригиналом функции F[q(p)] является следующая функция
где

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Доказательство.
Покажем, что интеграл является ограниченной и регулярной функцией при
Используем первый пункт условия
(4)
Подставляем вместо p в (4) q(p). Получаем

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Следовательно существует
(5)
Рассмотрим следующее выражение
Меняем порядок интегрирования

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Сравнивая с (5), получаем
Что и требовалось доказать.
Теорема 16: Пусть выполнены следующие условия:
1)
2) Интеграл дифференцируем для t>0.
3)
Тогда изображением функции f[q(t)] является следующая функция
Функция q(t) – ограничена.

Операционное исчисление.
Некоторые свойства оригиналов и изображений.
Доказательство.
Так как по условию функция q(t) ограничена, а функция
дифференцируема, то функция
тоже дифференцируема и
Рассмотрим выражение
(6)