Магнитное_поле_в_вакууме

Список литературы
Савельев И.В. Курс общей физики. В 5-и тт. Том 2. Электричество и магнетизм. ISBN - 978-5-8114-1208-2. Издательство «Лань». 2021 г.
Савельев И.В. Курс общей физики. В 5-и тт. Том 4. Волны. Оптика. ISBN - 978-5-8114-1210-5. Издательство «Лань». 2021 г.
Трофимова Т. И. Руководство к решению задач по физике : учебное пособие для прикладного бакалавриата: Учебное пособие/Трофимова Т. И..-М:Издательство Юрайт,2019, ISBN 978-5-9916-3429-8.-265. https://elis.psu.ru/node/557918

Основные темы
Взаимодействие токов
Магнитное поле
Закон Био-Савара-Лапласа
Поле движущегося заряда
Сила Лоренца
Закон Ампера
Контур с током в магнитном поле
Магнитное поле контура с током
Поле соленоида и тороида

Взаимодействие токов
Опыт показывает, что электрические токи взаимодействуют между собой
Два тонких проводника притягиваются друг к другу, если ток в них течет в одном направлении и отталкиваются если токи противоположны
Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу длины каждого из параллельных проводников, прямо пропорциональна токам в них I1 и I2 и обратно пропорциональна расстоянию между ними b
(6.1)

Взаимодействие токов
Коэффициент пропорциональности взят в виде 2k.
Закон взаимодействия токов был установлен Ампером в 1820 г.
Единица силы тока в СИ – ампер – определяется как сила неизменяющегося тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 2*10-7 Н на каждый метр длины.
Единицу заряда кулон определяют как заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение проводника, по которому течет постоянный ток силой 1А. Кулон еще называют ампер-секундой.

Взаимодействие токов
В рационализированной форме выражение (6.1) записывается
где μ0 – так называемая магнитная постоянная. Значение μ0
где Гн/м – Генри на метр
(6.2)
(6.3)

Взаимодействие токов
Коэффициент k в формуле (6.1) можно сделать равным 1 за счет выбора единицы силы тока.
Абсолютная электромагнитная единица силы тока (СГСМ-ед. силы тока) определяется как сила такого тока, который, протекая по тонкому прямолинейному бесконечно длинному проводу, действует на равный ему прямой ток, отстоящий на 1 см, с силой 2 дин на каждый сантиметр длины.
В СГСЭ-системе k оказывается отличной от единицы размерной величиной.

Взаимодействие токов
Согласно (6.1) размерность k определяется как
Следовательно, в системе СГСЭ k можно представить как
где с – имеющая размерность скорости величина, называемая электродинамической постоянной.
(6.4)
(6.5)

Взаимодействие токов
Вспомним, что 1 Кл=3*109 СГСЭ-ед. заряда 1 дин=10-5 Н, получим
подставим значения в (6.1) и получим
Значение электродинамической постоянной совпадает со значением скорости света в вакууме.
Из теории Максвелла вытекает существование электромагнитных волн, скорость которых равна c
Это дало возможность Максвеллу предположить, что свет это электромагнитная волна.

Взаимодействие токов
Между электрической постоянной ε0 и магнитной постоянной μ0 имеется связь
Найдем размерность и числовое значение произведения ε0 μ0
Размерность ε0 равна
А согласно (6.2) размерность μ0
Перемножив (6.6) на (6.7) получим
где v - скорость
(6.6)
(6.7)
(6.8)

Взаимодействие токов
Величина произведения ε0 μ0 равна
То есть
(6.9)
(6.10)

Магнитное поле
Взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое магнитным
Эрстед в 1820 году обнаружил, что при протекании тока рядом с магнитной стрелкой она отклоняется перпендикулярно проводнику.
Изменение направления тока поворачивает стрелку в противоположном направлении.
Таким образом было доказано, что магнитное поле имеет направленный характер и должно характеризоваться векторной величиной

Магнитное поле
Величину магнитного поля принято обозначать буквой B.
Величину B логично называть напряженностью магнитного поля.
В отличие от электрического, магнитное поле не оказывает действия на покоящийся заряд.
Сила возникает лишь тогда, когда заряд движется.
То есть магнитное поле порождается движущимися зарядами.
Движущиеся заряды изменяют свойства окружающего пространства, создают в нем магнитное поле.
Это поле проявляется в том, что на движущиеся в нем заряды действуют силы.

Магнитное поле
Опыт показывает, что для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: поле B, порожденное несколькими движущимися зарядами (токами), равно векторной сумме полей Bi, порождаемых каждым зарядом (током) в отдельности.
(6.11)
Применим для исследования магнитного поля пробный ток, циркулирующий в плоском контуре очень малых размеров
Ориентацию контура в пространстве будем характеризовать направлением нормали к контуру, связанным с направлением тока правилом правого винта.
Рис.1

Магнитное поле
Такую нормаль будем называть положительной.
Поместив пробный контур в магнитное поле, мы обнаружим, что поле устанавливает контур положительной нормалью в определенном направлении.
Примем это направление за направление поля в данной точке.
Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля не совпадали, возникнет вращающий момент, стремящийся вернуть контур в равновесное состояние.
Рис.1

Магнитное поле
Модуль момента зависит от угла α между нормалью и направлением поля, достигая наибольшего значения Mmax при α=π/2 (при α=0 момент равен нулю).
Внося в одну и ту же точку разные пробные контуры, мы обнаружим, что при фиксированном α вращающий момент пропорционален силе тока I в контуре и площади S контура и совершенно не зависит от формы контура.
То есть действие магнитного поля на контур равно
Эта величина называется дипольным магнитным моментом контура
(6.12)

Магнитное поле
Поскольку контур характеризуется положением в пространстве, магнитный момент следует рассматривать как вектор, направление которого совпадает с направлением положительной нормали n, (n – единичный вектор)
Единицей магнитного поля является ампер-квадратный метр (А⋅м2)
На разные контуры, с разными значениями pm, действуют в данной точке разные по модули вращающие моменты M, но отношение M/pm при фиксированном α одно и то же.
(6.13)

Магнитное поле
Поэтому в качестве модуля магнитной индукции можно принять величину
Mmax – наибольшее значение вращающего момента при α=π/2
Магнитная индукция есть векторная величина, модуль которой определяется выражением (6.14), а направление задается равновесным положением положительной нормали к контуру с током.
Единица измерения величины B, называемая тесла, равна магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский контур с током, имеющий магнитный момент 1А⋅м2, действует максимальный вращающий момент, равный 1Н⋅м.
(6.14)

Закон Био-Савара-Лапласа
Био и Савар в 1820 г. провели исследование магнитных полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводам различной формы.
Лаплас проанализировал их экспериментальные данные и установил зависимость, которая получила название закона Био-Савара-Лапласа.
«Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными участками тока».

Закон Био-Савара-Лапласа
Для магнитной индукции поля, создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу
Здесь k’ – коэффициент пропорциональности, dl – вектор, совпадающий с элементарным участком тока и направленный в ту сторону, в которую течет ток, r – вектор, проведенный от элемента тока в ту точку, в которой определяется dB, и r – модуль этого вектора.
(6.15)
Рис.2

Закон Био-Савара-Лапласа
Коэффициент пропорциональности k’ в формуле (6.15) в СИ равен μ0/4π, μ0 – магнитная пост постоянная. Тогда в СИ (6.15) будет
В системах СГСЭ и СГСМ единица магнитной индукции B выбирается так, чтобы коэффициент k’ в формуле (6.15) был равен единице.
Следовательно, между единицами B в этих системах имеется то же соотношение, что и между единицами заряда:
(6.16)
(6.17)

Закон Био-Савара-Лапласа
СГСМ-единица магнитной индукции имеет специальное название – гаусс (Гс).
К.Ф.Гаусс предложил систему единиц, в которой все электрические величины измеряются в единицах СГСЭ-системы, а магнитные величины – в единицах СГСМ-системы.
Эта система единиц получила название гауссовой системы единиц.
В этой системе во все формулы, содержащие наряду с магнитными величинами силу тока или заряд, входит по одному множителю 1/с на каждую стоящую в формуле I или q.
Этот множитель превращает значение, соответствующей величины (I или q), выраженное в единицах СГСЭ, в значение, выраженное в единицах СГСМ.

Закон Био-Савара-Лапласа
Формула (6.15) в гауссовой системе имеет вид
Модуль выражения (6.16) определяется формулой
Где α - угол между векторами dl и r.
(6.18)
(6.19)

Закон Био-Савара-Лапласа
Применим формулу (6.19) для вычисления поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины.
Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление, поэтому сложение векторов dB можно заменить на сложение их модулей.
Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию находится на расстоянии b от провода.
Из рисунка видно, что
Рис.3

Закон Био-Савара-Лапласа
Подставим эти выражения в формулу (6.19)
Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, следовательно
Таким образом, магнитная индукция прямого тока определяется формулой
(6.20)

Закон Био-Савара-Лапласа
Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.
Рис.4

Поле движущегося заряда
Из формулы (6.16) можно получить выражение для магнитной индукции поля, создаваемого точечным зарядом q, движущимся со скоростью v.
Допустим, что ток создается носителями заряда e’, скорость упорядоченного движения которых равна v. Тогда
где S – площадь поперечного сечения проводника, n – число носителей тока в единице объема. Подставим выражение (6.21) в формулу (6.16) и получим
(6.21)
(6.22)

Поле движущегося заряда
Учтя, что векторы e’v и dl совпадают по направлению, заменим e’vdl на e’vdl. Тогда формула (6.22) примет вид
Произведение Sdl дает объем отрезка провода длины dl, поэтому nSdl равно числу носителей тока, содержащихся в этом объеме и создающих поле dB.
Разделив выражение (6.23) на nSdl, мы найдем магнитную индукцию B поля, создаваемого зарядом e’, движущимся со скоростью v. Заменив e’ на q, получим
(6.23)
(6.24)

Поле движущегося заряда
Здесь r – вектор, проведенный от заряда в точку P поля, r – его модуль.
Пространство изотропно, поэтому если заряд неподвижен, то создаваемое им поле сферически-симметрично.
Если заряд движется со скоростью v, то в пространстве появляется выделенное направление (направление вектора v).
Поэтому магнитное поле движущегося заряда обладает осевой симметрией.
(6.24)
Рис.5

Поле движущегося заряда
Появление выделенного направления при движении заряда приводит к тому, что и электрическое поле движущегося заряда утрачивает сферическую симметрию и становится осесимметричным.
Вектор E в точке P направлен вдоль радиуса r, проведенного из точки, в которой находится заряд в данный момент, в точку P.
Модуль напряженности поля определяется
(6.25)
где ϑ - угол между направлением скорости v и радиусом-вектором r.
Рис.6

Поле движущегося заряда

Сила Лоренца
На заряд, движущийся в магнитном поле, действует сила, которую мы будем называть магнитной.
Опытным путем установлено, что сила F, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, определяется формулой
Где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единиц измерения.
Единица магнитной индукции B – тесла (Тл) – определяется так, чтобы коэффициент k был равен единице. Следовательно в СИ это выглядит так
(6.26)
(6.27)

Сила Лоренца
Модуль магнитной силы равен
где α - угол между векторами v и B.
Из выражения (6.28) следует, что заряд, движущийся вдоль магнитного поля, не испытывает действия магнитной силы.
Магнитная сила направлена перпендикулярна к плоскости, в которой лежат векторы v и B.
(6.28)
Если заряд положительный, то направление силы совпадает с направлением вектора [vB]
Если заряд отрицательный – направления противоположны
Рис.7

Сила Лоренца
Поскольку магнитная сила всегда перпендикулярна к скорости заряженной частицы, она не совершает работы над частицей.
Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.
Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля, сила действующая на заряженную частицу будет равна
Это выражение было получено путем обобщения экспериментальных данных и носит название силы Лоренца или лоренцовой силой.
(6.29)

Сила Лоренца
Пусть заряд q движется со скоростью v параллельно прямому бесконечному проводу, по которому течет ток силы I.
В этом случае на заряд действует сила
где b – расстояние от заряда до провода
(6.30)
В случае положительного заряда сила направлена к проводу, если направление движения тока и заряда одинаковы, и от провода если направления тока и движения заряда противоположны
Рис.8

Сила Лоренца
(6.31)
Рис.9

Сила Лоренца
Для магнитной силы с учетом (6.24) и (6.27) получается выражение
Найдем отношение магнитной силы к электрической
Магнитная сила слабее кулоновской на множитель, равный квадрату отношения скорости заряда к скорости света.
Магнетизм исчез бы если скорость света была бесконечно большой.
(6.32)
(6.33)

Закон Ампера
Если провод, по которому течет ток, помещен в магнитное поле, на каждый из носителей тока действует сила
Здесь v – скорость хаотичного движения, u – скорость упорядоченного движения. От носителя тока действие этой силы передается проводнику, по которому он перемещается.
В результате на провод с током в магнитном поле действует сила.
Найдем силу dF, действующую на элемент провода длины dl.
Усредним выражение (6.34) по носителям тока, содержащимся в элементе dl
(6.34)
(6.35)
B – магнитная индукция в том месте, где помещается элемент dl

Закон Ампера
В элементе провода содержится число носителей, равное nSdl (n – число носителей в единице объема, S – площадь поперечного сечения провода в данном месте
Приняв во внимание, что есть плотность тока j, а Sdl дает объем элемента провода dV, можно записать
Отсюда можно получить выражение для плотности силы, то есть для силы, действующей на единицу объема проводника
(6.36)
(6.37)

Закон Ампера
Заменим dV на Sdl и jSdl на jSdl=Idl и получим формулу
Эта формула определяет силу, действующую на элемент тока dl в магнитном поле. Это соотношение (6.38) было установлено экспериментально Ампером и носит название закона Ампера.
Модуль силы (6.38) вычисляется по формуле
где α - угол между векторами dl и B.
(6.38)
(6.39)
Рис.10

Закон Ампера
Применим закон Ампера для вычисления силы взаимодействия двух находящихся в вакууме параллельных бесконечно длинных прямых токов.
Если расстояние между токами равно b, то каждый элемент тока I2 будет находиться в магнитном поле, индукция которого равна
Рис.11

Закон Ампера
Угол α между элементами тока I2 и вектором B1 прямой.
Следовательно, согласно (6.39) на единицу длины тока I2 действует сила
Для силы F12ед аналогичное выражение.
Выражение (6.40) совпадает с формулой (6.2)
Легко убедиться, что при одинаковом направлении токов, они притягиваются и наоборот.
(6.40)
Рис.11

Контур с током в магнитном поле
Выясним, как ведет себя контур с током в магнитном поле.
Предположим, что магнитное поле однородно (B=const).
Согласно (6.38) на элемент контура dl действует сила
Результирующая таких сил равна
Вынесем за знак интеграла постоянные величины I и B и получим
(6.41)

Контур с током в магнитном поле
Интеграл равен нулю, поэтому и сила F=0
То есть, результирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю.
Это справедливо для контуров любой формы при произвольном положении контура относительно направления поля.
Существенное значение имеет только однородность магнитного поля.

Контур с током в магнитном поле
Вычислим результирующий вращающий момент, созданный силами (6.38), приложенными к контуру.
Поскольку в однородном поле сумма этих сил равна нулю, результирующий момент любой точки будет один и тот же.
Действительно, результирующий момент относительно точки О определяется выражением
Где r – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения силы dF.

Контур с током в магнитном поле
Возьмем точку О’, смещенную относительно О на отрезок b. Тогда r=b+r’ или r’=r-b
Поэтому результирующий момент относительно точки О’ равен
Так как равно 0.
Моменты, вычисленные относительно двух произвольно взятых точек О и О’ оказались совпадающими.
То есть, момент не зависит от выбора точки, относительно которой он берется.

Контур с током в магнитном поле
Рассмотрим произвольный плоский контур с током, находящийся в магнитном поле B.
Пусть контур ориентирован так, что положительная нормаль к контуру n перпендикулярна вектору B.
Разобьем площадь контура на узкие параллельные направлению вектора B полоски ширины dy.
На крайний слева элемент контура dl1 действует сила dF1, направленная от нас. Модуль этой силы равен
Рис.12

Контур с током в магнитном поле
На крайний правый элемент контура dl2 действует сила dF2, направленная на нас
Полученный результат означает, что силы, приложенные к противоположным элементам контура dl1 и dl2 образуют пару, момент которой равен
(dS – площадь полоски). Вектор dN перпендикулярен к векторам n и B и может быть записан в виде
Рис.12

Контур с током в магнитном поле
Просуммировав это выражение по все полоскам, получим вращающий момент
(здесь поле предполагается однородным, поэтому произведение [nB] для всех площадок одинаков и может быть вынесено из под знака интеграла).
Величина S в выражении (6.42) есть площадь контура. Это выражение можно представить в виде
Эта формула схожа с формулой, определяющей вращающий момент, действующий на электрический диполь в электрическом поле.
(6.42)
(6.43)

Контур с током в магнитном поле
Аналогом E служит вектор B, а аналогом дипольного электрического момента p – выражение ISn.
Это послужило основанием для того, чтобы назвать величину
Дипольным магнитным моментом контура с током.
Направление вектора pm совпадает с направлением положительной нормали к контуру.
(6.44)

Контур с током в магнитном поле
Воспользовавшись обозначением (6.44) можно написать формулу (6.43) следующим образом:
Теперь допустим, что направление вектор B совпадает с направлением положительной нормали к контуру n, а следовательно и с направлением pm
В этом случае силы, действующие на разные элементы контура, лежат в одной плоскости – плоскости контура.
(6.45)
Рис.13

Контур с током в магнитном поле
Сила, действующая на элемент контура dl, определяется выражением (6.38)
Вычислим результирующий момент таких сил относительно точки О, лежащей в плоскости контура:
(r –радиус-вектор, проведенный из точки О к элементу dl). Преобразуем подынтегральное выражение в
Рис.13

Контур с током в магнитном поле
Первый интеграл равен нулю вследствие того, что векторы r и B взаимно перпендикулярны.
Скалярное произведение под знаком второго интеграла равно
Поэтому второй интеграл можно представить в виде

Контур с током в магнитном поле
Под знаком интеграла стоит полный дифференциал функции r2.
Сумма приращений функции на замкнутом пути равна нулю.
Следовательно и второе слагаемое в выражении N равно нулю.
Таким образом, мы доказали, что результирующий момент N относительно любой точки О, лежащей в плоскости контура равен нулю.
Такое же значение имеет результирующий момент относительно всех других точек.

Контур с током в магнитном поле
Итак, в случае, когда векторы pm и B имеют одинаковое направление, магнитные силы действующие на отдельные участки контура, не стремятся ни повернуть контур, ни сдвинуть его с места.
Они лишь стремятся растянуть контур.
Если векторы pm и B имеют противоположные направления, магнитные силы стремятся сжать контур.
Рис.13

Контур с током в магнитном поле
Пусть направления векторов pm и B образуют произвольный угол α.
Разложим магнитную индукцию на две составляющие: B|| - параллельную и B⊥ - перпендикулярную вектору pm и рассмотрим действие каждой составляющей отдельно.
Составляющая B|| будет обуславливать силы, растягивающие или сжимающие контур.
Составляющая B⊥, модуль которой равен Bsinα, приведет к возникновению вращающего момента, который можно вычислить по формуле (6.45)
Рис.14

Контур с током в магнитном поле
Из рисунка следует, что
Следовательно, в самом общем случае, вращающий момент, действующий на плоский контур с током в однородном магнитном поле, определяется формулой
(6.46)
Модуль вектора N равен
(6.47)
Рис.14

Контур с током в магнитном поле
Для того чтобы угол α между векторами pm и B увеличить на dα, нужно совершить против сил, действующих на контур в магнитном поле, работу
Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвратить затраченную на его поворот работу, совершив ее над каким-нибудь телом.
Следовательно работа идет на увеличение потенциальной энергии Wп мех, которой обладает контур стоком в магнитном поле:
(6.48)

Контур с током в магнитном поле
Интегрируя, находим
Если положить const=0, форму приобретает вид
Параллельная ориентация векторов pm и B отвечает минимуму энергии и, следовательно, положению устойчивого равновесия контура
Величина (6.49) представляет собой только ту часть потенциальной энергии, которая обусловлена существованием вращающего момента.
Полная потенциальная энергия включает кроме (6.49) еще другие слагаемые.
(6.49)

Контур с током в магнитном поле
Рис.15

Контур с током в магнитном поле
Поэтому силы, приложенные к элементам контура, образуют симметрический конический веер.
Их результирующая F направлена в сторону возрастания B и, следовательно, втягивает контур в область более сильного поля.
Очевидно, что чем сильнее изменяется поле, тем меньше угол раствора веера и тем больше результирующая сила.
Если изменить направление тока на обратное, направления всех сил dF и их результирующей F изменятся на обратный, а значит контур будет выталкиваться из поля.
Рис.16
Рис.17

Контур с током в магнитном поле
С помощью выражения (6.49) для энергии контура в магнитном поле легко найти количественное выражение для силы F.
Если ориентация магнитного момента по отношению к полю остается неизменной (α=const), то Wп мех будет зависеть только от x (через B).
Продифференцировав Wп мех по x и изменив у результата знак, получим проекцию силы на ось x:
По предположению, в других направлениях поле изменяется слабо, поэтому проекциями силы на другие оси можно пренебречь

Контур с током в магнитном поле
В этом случае F=Fx и тогда сила будет равна
То есть сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля.
Если векторы pm и B совпадают по направлению, сила положительна, т.е. направлена в сторону возрастания B.
Если векторы pm и B антипараллельны (α=π), сила отрицательна, то есть направлена в сторону убывания B.
Кроме силы (6.50) на контур будет также действовать вращающий момент (6.46)
(6.50)

Магнитное поля контура с током
Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности радиуса R.
Определим магнитную индукцию в центре кругового тока.
Каждый элемент тока создает в центре индукцию, направленную вдоль положительной нормали к контуру.
Поэтому векторное сложение dB сводится к сложению их модулей

Магнитное поля контура с током
Проинтегрируем это выражение по всему контуру:
Выражение в скобках равно модулю дипольного момента pm (6.44).
Следовательно магнитная индукция в центре кругового тока равна
Из рисунка видно, что направление вектора B совпадает с направлением положительной нормали к контуру, т.е. с направлением pm, поэтому (6.51) можно выразить в векторном виде
(6.51)
(6.52)

Магнитное поля контура с током
Теперь найдем B на оси кругового тока на расстоянии r от центра контура.
Векторы dB перпендикулярны к плоскостям, проходящим через соответствующий элемент dl и точку, в которой мы ищем поле.
Из соображений симметрии можно заключить, что результирующий вектор Bнаправлен вдоль оси контура.
Каждый из составляющих векторов dB вносит в результирующий вектор вклад dB||, равный по модулю dBsinβ=dB(R/b).
Угол между dl и b прямой, поэтому

Магнитное поля контура с током
Проинтегрировав по всему контуру и заменив b на получим
Эта формула определяет модуль магнитной индукции на оси кругового тока.
Приняв во внимание, что векторы pm и B имеют одинаковое направление, можно записать выражение (6.53) в векторном виде
(6.53)
(6.54)

Магнитное поля контура с током
Выражение (6.54) не зависит от знака r, следовательно в точках оси, симметричных относительно центра тока, B имеет одинаковый модуль и направление.
При r=0 формула (6.54) переходит в (6.52) для магнитной индукции в центре кругового тока.
На больших расстояниях от контура в знаменателе можно пренебречь R2 по сравнению с r2, тогда формула (6.54) примет вид
Это выражение аналогично выражению для напряженности электрического поля на оси диполя
(6.55)

Магнитное поля контура с током
Дополнительные расчеты показывают, что любой системе токов или движущихся зарядов, локализованных в ограниченной части пространства, можно приписать магнитный дипольный момент pm.
Магнитное поле такой системы на расстояниях, больших по сравнению с ее размерами, определяется через pm по таким же формулам, по каким определяется через дипольный электрический момент поле системы зарядов на больших расстояниях.
На рисунке изображены линии магнитной индукции кругового тока.

Магнитное поля контура с током
Из всего сказанного вытекает, что дипольный магнитный момент является весьма важной характеристикой контура с током.
Этой характеристикой определяется как поле, создаваемое контуром, так и поведение контура во внешнем магнитном поле.

Поле соленоида и тороида
Соленоид представляет собой провод, навитый на круглый цилиндрический каркас.
Линии поля B соленоида выглядят примерно как на рисунке
Внутри соленоида направление этих линий образует с направлением тока в витках правовинтовую систему
У реального соленоида имеется составляющая тока вдоль оси.
Кроме того, линейная плотность тока jлин, равная отношению силы тока dI к элементу длины соленоида dl изменяется периодически при перемещении вдоль соленоида.

Поле соленоида и тороида
Среднее значение этой плотности равно
Где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу длины соленоида, I – сила тока в соленоиде.
Если представить, что соленоид имеет бесконечную длину, то осевая составляющая тока у него отсутствует и линейная плотность тока постоянна по всей длине.
Это объясняется тем, что поле такого соленоида однородно и ограничено объемом соленоида.
Также как однородно электрическое поле между пластинами бесконечного плоского конденсатора
(6.56)

Поле соленоида и тороида
Представим соленоид в виде бесконечного тонкостенного цилиндра, обтекаемого током постоянной линейной плотности
Разобьем цилиндр на одинаковые круговые токи – «витки».
Из рисунка видно, что каждая пара витков, расположенных симметрично относительно некоторой плоскости, к перпендикулярной к оси соленоида, создает в любой точке этой плоскости магнитную индукцию, параллельную оси.
(6.57)

Поле соленоида и тороида
Следовательно, результирующее поле в любой точке внутри и вне бесконечного соленоида может иметь направление только параллельно оси.
Из предыдущего рисунка видно, что направления поля внутри соленоида и вне его противоположны.
Направление поля внутри соленоида образует с направлением обтекания цилиндра током правовинтовую систему.
Из параллельности вектора B оси вытекает, что поле как внутри, так и вне бесконечного соленоида должно быть однородным.

Поле соленоида и тороида
Чтобы доказать это возьмем внутри соленоида воображаемый прямоугольный контур 1-2-3-4.
Обойдя контур по часовой стрелке, получим для циркуляции вектора B значение (B2-B1)a.
Контур не охватывает токов, поэтому циркуляция равна нулю, поэтому B1=B2.
Располагая участок контура 2-3 н любом расстоянии от оси, мы каждый раз будем получать, что магнитная индукция B2 на этом расстоянии равна индукции B1 на оси соленоида.
Таким образом, однородность поля внутри соленоида доказана.
Так же доказывается и однородность поля вне соленоида.

Поле соленоида и тороида
Циркуляция по контуру, изображенному на рисунке, равна a(B+B’).
В тоже время циркуляция по контуру равна
В этом случае
(6.58)
С учетом (6.57) получим выражение
Из этого равенства следует, что поле как внутри соленоида, так и вне его является конечным.
(6.59)

Поле соленоида и тороида
Возьмем плоскость, перпендикулярную оси соленоида.
Вследствие замкнутости линий B магнитные потоки через внутреннюю часть S и через внешнюю часть S’ должны быть одинаковы.
Поскольку поле однородно и перпендикулярно к плоскости, каждый из потоков равен произведению соответствующей магнитной индукции и площади, пронизываемой потоком.
Левая часть этого равенства конечна, а множитель S’ в правой части бесконечно большой, следовательно B’=0.

Поле соленоида и тороида
Итак, мы доказали, что вне бесконечно длинного соленоида магнитная индукция равна нулю.
Внутри соленоида поле однородно.
Положив B’=0, получим формулу магнитной индукции внутри соленоида:
Произведение nI называется числом ампер-витков на метр.
При n=1000 витков на метр и силе тока 1А магнитная индукция внутри соленоида составляет 4π10-4Тл или 4π Гс.
(6.60)

Поле соленоида и тороида
В магнитную индукцию на оси соленоида симметрично расположенные витки вносят одинаковый вклад.
Значит у конца полубесконечного соленоида на его оси магнитная индукция будет равна половине значения
Практически, если длина соленоида значительно больше, чем его диаметр, формула (6.60) будет справедлива для точек в средней части соленоида, а формула (6.61) – для точек вблизи его концов.
(6.61)

Поле соленоида и тороида
Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора.
Возьмем контур в виде окружности радиуса r, центр которой совпадает с центром тороида.
В силу симметрии вектор B в каждой точке должен быть направлен по касательной к контуру.
Следовательно циркуляция равна
B – магнитная индукция в тех точках, где проходит контур.

Поле соленоида и тороида
Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток 2πRnI (R – радиус тороида, n – число витков на единицу его длины).
В этом случае
Следовательно
Контур, проходящий вне тороида, токов не охватывает, поэтому для него
Таким образом, вне тороида магнитная индукция равна нулю.
Для тороида, радиус которого значительно превосходит радиус витка, соотношение R/r для всех точек внутри тороида мало отличается от единицы и вместо (6.62) получатся выражение (6.60)
(6.62)

Поле соленоида и тороида
В этом случае поле можно считать однородным в каждом из сечений тороида.
В разных сечениях поле имеет различное направление, поэтому говорить об однородности поля в пределах всего тороида можно только условно, имея в виду одинаковость модуля B.
У реального тороида имеется составляющая тока вдоль оси.
Эта составляющая создает в дополнение к полю (6.62) поле, аналогичное полю кругового тока.