Метод контурных токов (МКТ)

МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ (МКТ)
Вывод МКТ основан на решении полной системы уравнений, составленной по законам Кирхгофа.

Из (3.1) выразим ток внутренней ветви I2 :
Подставим (3.4) в (3.2), (3.3) и приведем подобные :
(3.4)
(3.5)

Из (3.1) выразим ток внутренней ветви I2 :
Подставим (3.4) в (3.2), (3.3) и приведем подобные :
(3.4)
(3.5)
Формально введем понятие контурных токов, замкнув токи внешних ветвей по соответствующим контурам:
I11 - контурный ток I контура
I22 - контурный ток II контура

Обозначим:
(3.6)

Обозначим:
контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур)
(3.6)

Обозначим:
контурные ЭДС (алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур)
С учетом принятых обозначений систему (3.5) можно записать в следующем виде:
(3.6)

Структура уравнений, составленных по МКТ:
В результате решения полученной системы уравнений находим контурные токи I11, I2 2, ..., In n,
а затем реальные токи в ветвях схемы I1, I2 , ..., In .

Порядок решения задач методом контурных токов
Определить число узлов n и ветвей m схемы.
2. Выбрать (m - n + 1) взаимно независимых контуров и задать для этих контуров направления обхода (н.о.).
3. Принять направления контурных токов совпадающим с направлением обхода контуров.
4. Для выбранных контуров записать уравнения по МКТ и решить полученную систему уравнений.
5. Произвольно расставить направления реальных токов в ветвях.
6. Определить реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Порядок решения задач методом контурных токов
Определить число узлов n и ветвей m схемы.
2. Выбрать (m - n + 1) взаимно независимых контуров и задать для этих контуров направления обхода (н.о.).
3. Принять направления контурных токов совпадающим с направлением обхода контуров.
4. Для выбранных контуров записать уравнения по МКТ и решить полученную систему уравнений.
5. Произвольно расставить направления реальных токов в ветвях.
6. Определить реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Порядок решения задач методом контурных токов
Определить число узлов n и ветвей m схемы.
2. Выбрать (m - n + 1) взаимно независимых контуров и задать для этих контуров направления обхода (н.о.).
3. Принять направления контурных токов совпадающим с направлением обхода контуров.
4. Для выбранных контуров записать уравнения по МКТ и решить полученную систему уравнений.
5. Произвольно расставить направления реальных токов в ветвях.
6. Определить реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Порядок решения задач методом контурных токов
Определить число узлов n и ветвей m схемы.
2. Выбрать (m - n + 1) взаимно независимых контуров и задать для этих контуров направления обхода (н.о.).
3. Принять направления контурных токов совпадающим с направлением обхода контуров.
4. Для выбранных контуров записать уравнения по МКТ и решить полученную систему уравнений.
5. Произвольно расставить направления реальных токов в ветвях.
6. Определить реальные токи в ветвях как алгебраическую сумму контурных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Пример

Пример
Решение:

Решение полученной системы методом подстановки :

Решение полученной системы методом подстановки :
Определение реальных токов в ветвях :
E1
E2
E3
R1
R2
R3
R4
I1
I3
I2
а
b
I22
н.о.
I
н.о.
E1
E2
E3
R1
R2
R3
R4
I1
I3
I2
а
b
н.о.
I11
н.о.

Проверка решения (баланс мощности)

Проверка решения (баланс мощности)
Мощность источников:

Проверка решения (баланс мощности)
Мощность источников:
Мощность потребителей:

Особенности применения метода контурных токов при наличии в цепи источников тока При наличии в схеме источника тока расчетные контуры нужно выбрать так, чтобы каждый источник тока входил только в один независимый контур. Тогда реальный ток источника будет равен контурному току, и, следовательно, этот контурный ток уже будет известен (для него не надо записывать уравнения по МКТ). Но он будет входить в уравнения для других контурных токов. При формировании системы уравнений его необходимо перенести в правую часть системы как известную величину.
Ток источника тока может замыкаться по произвольным контурам, состоящим из ветвей, дополняющих ветвь источника до замкнутого контура.

Пример
найти неизвестные токи

Решение:

Решение:

Решение:

Решение полученной системы методом Крамера :

.
.
.
.
.
.
.
Определение реальных токов в ветвях

Проверка решения (баланс мощности)

Проверка решения (баланс мощности)

Проверка решения (баланс мощности)

При расчете токов МКТ всегда можно добиться того, чтобы ветвь с искомым током входила только в один независимый контур. Тогда реальный ток будет совпадать с контурным, и для него будет справедливо соотношение:
МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей E1, E2, E3… Тогда:
Ток в произвольной ветви равен алгебраической сумме частичных токов, порождаемых каждым из источников в отдельности.
При расчете токов МКТ всегда можно добиться того, чтобы ветвь с искомым током входила только в один независимый контур. Тогда реальный ток будет совпадать с контурным, и для него будет справедливо соотношение:
МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Порядок решения задач методом наложения
Определить число источников энергии в схеме.
Количество источников энергии равно количеству частичных токов, подлежащих определению.
2. Поочередно рассчитать частичные токи в ветвях, возникающие от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники мысленно удаляются из цепи, но сохраняются их внутренние сопротивления.
3. Истинные токи определяется алгебраической суммой частичных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Порядок решения задач методом наложения
Определить число источников энергии в схеме.
Количество источников энергии равно количеству частичных токов, подлежащих определению.
2. Поочередно рассчитать частичные токи в ветвях, возникающие от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники мысленно удаляются из цепи, но сохраняются их внутренние сопротивления.
3. Истинные токи определяется алгебраической суммой частичных токов.
7. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Порядок решения задач методом наложения
Определить число источников энергии в схеме.
Количество источников энергии равно количеству частичных токов, подлежащих определению.
2. Поочередно рассчитать частичные токи в ветвях, возникающие от действия каждого источника в отдельности. При этом остальные источники мысленно удаляются из цепи, но сохраняются их внутренние сопротивления.
3. Истинные токи определяется алгебраической суммой частичных токов.
4. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Решение:
Пример

E
R1
R2
R3
I1
I3
I2
R1
R2
R3
R4
I1
I3
I2
а
b
c
d
c
d

Определение частичных токов в ветвях от действия источника ЭДС :

Определение частичных токов в ветвях от действия источника тока :