Метод составления уравнений движения гибкого кольца

Содержание

Слайд 2

Зарождение динамики неголономных систем, по-видимому, следует отнести к тому времени, когда аналитический

Зарождение динамики неголономных систем, по-видимому, следует отнести к тому времени, когда аналитический
формализм, созданный трудами Л. Эйлера и Ж. Лагранжа, оказался,
к всеобщему удивлению, неприменимым к очень простым механическим задачам о качении без проскальзывания твердого тела по плоскости.

Слайд 3

Только в 1894 г.
в книге «Принципы механики, изложенные в новой связи»
(через 106

Только в 1894 г. в книге «Принципы механики, изложенные в новой связи»
лет после труда Лагранжа «Аналитическая механика» в 1788 году)
Генрих Герц ввел разделение
связей и механических систем на голономные и неголономные

Слайд 4

.
К настоящему времени динамика неголономных систем оформлена как самостоятельная часть общей

. К настоящему времени динамика неголономных систем оформлена как самостоятельная часть общей
динамики механических систем-находит широкое применение в задачах современной техники, таких как движения автомобиля, самолетного шасси, железнодорожного колеса.
А ее методы активно используются в теории электрических машин
Достаточно полное изложение задач и методов неголономной механики представлено в монографии Ю.И.Неймарка, Н.А.Фуфаева "Динамика неголономных систем" 1967г

Слайд 5

Условия голономные и неголономные.
Условия (они же ограничения), накладываемые на движение механической системы

Условия голономные и неголономные. Условия (они же ограничения), накладываемые на движение механической
разделяют как потенциальные:
- накладываются на координаты
так и кинематические:
- накладываются на скорости (или компоненты скорости)

f[x,y]=0

f [x,y,x,y]=0

Слайд 6

Условия голономные и неголономные.

Задача учета кинематических связей в нелинейном виде не разработана,

Условия голономные и неголономные. Задача учета кинематических связей в нелинейном виде не
в линейном виде связь относительно скоростей выглядит следующим образом:
что позволяет эту связь записать через дифференциалы

 

 

Слайд 7

Условия голономные и неголономные.

Если дифференциальную связь (3) нельзя записать как полный дифференциал

Условия голономные и неголономные. Если дифференциальную связь (3) нельзя записать как полный
некоторой функции
То такая связь называется неинтегрируемой (неголономной), а механическая система с такой связью- неголономной системой. Соответственно, система с голономной связью – голономной.

d[F[x,y]] ≠ a1[x,y]·d[x] + a2[x,y]·d[y]

Слайд 8

Метод составления уравнений динамики механической системы при наложении различных типов условий на

Метод составления уравнений динамики механической системы при наложении различных типов условий на
переменные

(2) а1 [ х,у ] х + а2 [х,у ] у =0

Для голономных связей: Лагранжем предложены два метода:
использование функции связи как новой переменной-
( приводит к уменьшение общего числа переменных)
2) метод «множителей Лагранжа»,
(вводит условия через множители Лагранжа, которые физически представляют собой силы, обеспечивающие выполнение этих условий).

Слайд 9

Методы составления уравнений динамики механической системы при наложении различных типов условий на

Методы составления уравнений динамики механической системы при наложении различных типов условий на
переменные

(2) а1 [ х,у ] х + а2 [х,у ] у =0

СЧИТАЕТСЯ что, неголономные связи допускают лишь второй способ составления уравнений динамики-метод множителей Лагранжа.
ПОЛАГАЕТСЯ, что уменьшение числа переменных здесь невозможно, потому что нет уравнений, с помощью которых можно бы выразить одни переменные через другие и приходится оперировать с большим количеством переменных, чем того требует число степеней свободы системы
.

Слайд 10


Однако, способ уменьшения числа переменных вводя кинематические условия как новые переменные

Однако, способ уменьшения числа переменных вводя кинематические условия как новые переменные давно
давно предложен А. Пуанкаре и Э. Картаном.
Картаном введена математическая конструкция , названная им интегральный инвариант динамики второго порядка (либо тензор "количество движения- энергии"),
Интегральные инварианты М.: 1922 г. 

НОВЫЙ МЕТОД

Слайд 11


Указанное выражение получается совершенно естественно при вычислении вариации интеграла действия Гамильтона.

Указанное выражение получается совершенно естественно при вычислении вариации интеграла действия Гамильтона. В
В современных обозначениях:
dΩ =d[x1]⋀d[x]-d[H]⋀d[t]
где
⋀- внешнее умножение дифференциалов
x- координата
x1-скорость,
H=T+U- гамильтониан,
t- время

НОВЫЙ МЕТОД

Слайд 12

НОВЫЙ МЕТОД


Поскольку из этого дифференциального инварианта следует система уравнений движения -

НОВЫЙ МЕТОД Поскольку из этого дифференциального инварианта следует система уравнений движения -
любой механической системы, а сам дифференциальный инвариант состоит из дифференциальных форм, то введение ограничений, как на сами кинематические переменные, так на их дифференциалы могут быть проведены в рамках самого интегрального инварианта .

Слайд 13


В случае использования интегрального инварианта механики по Картану, введение ограничений на

В случае использования интегрального инварианта механики по Картану, введение ограничений на переменные
переменные механической системы (как голономные, так и неголономные) приводит к уменьшению числа независимых переменных.
Таким образом, применение интегрального инварианта механики соответствует способу введения ограничений на переменные, как новых переменных, приводящее к уменьшению числа степеней свободы механической системы, что соответствует методу Лагранжа по замене переменных.

НОВЫЙ МЕТОД

Слайд 14

Применение нового метода к составлению уравнений динамики волнового твердотельного гироскопа
( по

Применение нового метода к составлению уравнений динамики волнового твердотельного гироскопа ( по
В.Ф. Журавлеву, Д.М. Климову)


Волновой твердотельный гироскоп моделируется как
упругое гибкое кольцо

Слайд 15


L=1/2 ((v1+(R-w) Ω)2+(w1+v Ω)2)- 1/2 κ12 (wss+vs )2-
-(1/2 )

L=1/2 ((v1+(R-w) Ω)2+(w1+v Ω)2)- 1/2 κ12 (wss+vs )2- -(1/2 ) δ12 (vs
δ12 (vs -w)2
при наложении условия нерастяжимости средней линии кольца:
(vs+R-w)2+(ws+v)2=R2
где, (w, v)-деформации кольца
вдоль радиуса и образующей
(w1,s v1,s)-скорость их изменений
по времени и по коор. соответственно

Динамика упругого кольца описывается функцией Лагранжа L :

Слайд 16


.
Если пренебречь потенциальной энергией, то эффект инертных свойств упругой деформацией

. Если пренебречь потенциальной энергией, то эффект инертных свойств упругой деформацией гибкого
гибкого кольца следует из оставшейся кинематической энергии:
L=1/2 ((v1+(R-w) Ω)2+(w1+v Ω)2)
Если не пренебрегать потенциальной энергией, то новый метод при наложении условия нерастяжимости даст следующие соотношения:
  d[SID]us= 1/Ω2 (1/2 d[Ω2 rψ2+Ω2 vψ2]-((R+r)2+v2) d[Ω2/2])⋀d[ψ]⋀d[φ]+κ12d[r+rss]⋀(d[R Q]-(r+rss) d[φ])⋀d[t]=0

Новые соотношения для гибкого кольца

Слайд 17


Анализ приближений условий нерастяжимости средней линии на основе НОВОЙ формы нерастяжимости:

Анализ приближений условий нерастяжимости средней линии на основе НОВОЙ формы нерастяжимости: vs+R-w->
vs+R-w-> R Cos[Q],-ws-v-> R Sin[Q]
приводит, к тому, что  изменение потенциальной энергии
П2=1/2 κ12 (-rss+vs )2
не происходит; остается только влияние кинетической энергии, искаженное условием нерастяжимости:
1/2 d[Ω2 rψ2+Ω2 vψ2]-((R+r)2+v2) d[Ω2/2]=0
Таким образом, получено уравнение для гибкого кольца, моделирующее ВТГ.

Слайд 18

Эффект инертных свойств упругой деформацией гибкого кольца следует из уравнений кольца и

Эффект инертных свойств упругой деформацией гибкого кольца следует из уравнений кольца и
в случае когда потенциальной энергией можно пренебречь.
В рамках приближений, введенных авторами книги, влияние нерастяжимости средней линии гибкого кольца приводит к пренебрежению изменениями потенциала,остается только влияние кинетической энергии, искаженной условием нерастяжимости, которое удовлетворяет уравнению:

ВЫВОД

Слайд 19

Уравнение динамики для переменных гибкого кольца эквивалентно :
1/2 d[Ω2 rψ2+Ω2

Уравнение динамики для переменных гибкого кольца эквивалентно : 1/2 d[Ω2 rψ2+Ω2 vψ2]-((R+r)2+v2)
vψ2]-((R+r)2+v2) d[Ω2/2]=0
или
((R+r)2+v2) d[Ω2/2]=1/2 d[r12+v12]
подобному уравнению термодинамики :
T dS=dU+P dV
T dS=dQ- поток тепла
d[S]=dQ/T
где
Ω2/2-подобна энтропии ,(r2+v2)-подобна температуре


ВЫВОД

ВЫВОД

Слайд 20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Картан Э.Д.  Интегральные инварианты М.: 1922 г.
2. Суслов Г.К. Теоретическая

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Картан Э.Д. Интегральные инварианты М.: 1922 г. 2.
механика, (издание 3), М : Л : ГИТТЛ, 1946 г.
3..Чаплыгин С.А. Исследования по динамике НЕГОЛОНОМНЫХ систем, М.:1949 г.
4. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика  неголономных систем, М.: 1967 г.
5. Журавлёв В.Ф., Розенблат Г.М. Теоретичекая механика в решениях задач
( из сборника Мещерского И.В. Системы с качением. Неголономные связи), М.: 2009 г.  6. Журавлев В.Ф. , Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп, М.: 1985 г.