Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации

Уравнение движения для матрицы плотности смешанного ансамбля,
характеризующее временные изменения матрицы плотности, имеет вид:
,
где
- коммутатор оператора
с гамильтонианом
.
В стационарном состоянии матрица плотности
не зависит от времени и
коммутирует с
.
Это означает, что в энергетическом представлении
и
описываются диагональными матрицами:
,
.

1.3.1. Термостатированный ансамбль. Безизлучательные переходы

1.3.2. Описание релаксации

Запишем это уравнение отдельно для диагональных и недиагональных элементов:
,
.
Из этого решения следует, что модуль
и от времени не зависит. Однако
эксперимент показывает, что при приближении системы к состоянию равновесия все
недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Это связано с тем, что
в
действительности рассматриваемые нами микросистемы взаимодействуют с термостатом.
Учтем действие термостата феноменологически. Опыт показывает, что
стремится к нулю по экспоненциальному закону. Это можно учесть добавкой слагаемого
в уравнение для недиагональных элементов:
,
где
- время релаксации, определяемое из эксперимента. Решение
данного уравнения
следующее:
,
причем
.
За время
элементы матрицы плотности по модулю
уменьшаются в
e
раз. Числа
образуют квадратную матрицу, ввиду
самосопряженности
матрицы
являющуюся симметричной:
.

В частном случае термодинамического равновесия
и не зависит от
времени. Поэтому сумма в правой части равна нулю. Обычно постулируется, что в этой
сумме равно нулю каждое слагаемое:
.
Это равенство выражает
принцип детального равновесия
и ограничивает возможные
значения
. При учете только тепловых переходов
и
могут быть найдены из
закона Больцмана:
,
.
Таким образом, вероятность тепловых (или
безызлучательных) переходов сверху
вниз всегда больше, чем для переходов снизу вверх.

1.3.3. Общие уравнения для матрицы плотности
В общем случае квантовая система находится во взаимодействии с
внешним полем, и ее гамильтониан может быть представлен в виде:
,
где
- гамильтониан невозмущенной системы и
- оператор
взаимодействия с внешним полем. В результате общее уравнение движения
для матрицы плотности может быть представлено в виде:
+ члены,
ответств. за взаимодействие с термостатом.