Переходные процессы в ЭЦ

6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации
6 Переходные процессы

Установившейся режим
Установившимся режимом называется такой режим, при котором токи и напряжения в цепи являются постоянными величинами или периодическими функциями времени.
Режим покоя, когда все токи и напряжения в цепи равны нулю также считается установившимся.
В установившемся режиме каждый ток или напряжение имеет постоянную величину (режим постоянного тока) или постоянную амплитуду, частоту и начальную фазу (режим гармонического тока).
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

Переходный процесс
Переходным процессом называется режим, при котором токи и напряжения в цепи изменяются от одних установившихся значений до других.
Во время переходного процесса токи и напряжения в цепи не могут быть постоянными или периодическими.
Задача анализа переходных процессов заключается в определении переходных токов и напряжений как функций времени.
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

Причины переходных процессов
При изменении действующих в электрической цепи задающих функций источников питания
При изменении параметров самой цепи
включение / отключение источника
короткое замыкание участка цепи
Коммутация – процесс скачкообразного (мгновенного) изменения какого-либо параметра электрической цепи
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

Коммутация происходит с помощью идеального ключевого элемента
Типы ключей
замыкающий
размыкающий
переключающий
Свойства идеального ключа
в замкнутом состоянии R = 0 (идеальный проводник)
в разомкнутом состоянии R = ∝ (разрыв цепи)
переходит из одного состояния в другое мгновенно
Идеальный ключ
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

t = 0 – момент коммутации
t = 0 – – последний момент перед коммутацией
t = 0+ – первый момент после коммутации
Моменты коммутации
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации
Переходный процесс занимает некоторое время (теоретически бесконечно большое)

Энергия в электрической цепи
Установившийся режим характеризуется определенным запасом энергии магнитного и электрического полей
ik – мгновенный ток в катушке Lk
ul – мгновенное напряжение на конденсаторе Cl
k и l – индексы суммирования
В переходном режиме происходит изменение запасенной в цепи энергии и это изменение не может происходить скачкообразно. Для мгновенного изменение энергии требуется бесконечно большая мощность P = dW/dt в электрической цепи, что лишено физического смысла
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

Законы коммутации
Ток в любом индуктивном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком (для момента коммутации t = 0)
iL(0+) = iL(0-) = iL(0)
Напряжение на любом емкостном элементе является непрерывной функцией времени и не может изменяться скачком (для момента коммутации t = 0)
uC(0+) = uC(0-) = uC(0)
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

Выводы
iL и uC в начальный момент после коммутации имеют те же значения, что и перед коммутацией и затем плавно изменяются
iR и uR, а также iC и uL могут изменяться мгновенно
6.1 Установившиеся и переходные процессы. Законы коммутации

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6 Переходные процессы

Анализ переходных процессов
Задача заключается в определении мгновенных значений токов и напряжений в любой момент после коммутации
Задача сводится к решению дифференциального уравнения
f(t) – воздействие на электрическую цепь
y(t) – отклик на воздействие
6.2 Общий подход к анализу переходных процессов

Решение задачи
Определение начальных условий
из законов коммутации
Решение дифференциального уравнения
классическим методом
операторным методом
6.2 Общий подход к анализу переходных процессов

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.1 Классический метод анализа
6 Переходные процессы

Суть метода
Метод основан на составлении системы дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием уравнений для элементов и законов Кирхгофа для мгновенных токов и напряжений в цепи
Для определения интересующей реакции систему исходных уравнений путем исключения остальных переменных приводят к одному линейному дифференциальному уравнению ν-го порядка с постоянными коэффициентами
6.2.1 Классический метод анализа

Вид решения ЛДУ
yСВ(t) – свободная или собственная составляющая – это общее решение соответствующего однородного ДУ цепи, которое получается при f(t) = 0 (в цепи отсутствует внешнее воздействие, т.е. источник)
yПР(t) – принужденная или вынужденная составляющая – это частное решение ДУ цепи, которое находится при анализе установившегося режима в цепи после коммутации и определяется воздействием f(t)
6.2.1 Классический метод анализа

Свободная составляющая
определяется свойствами самой цепи
существует во время переходного процесса
yСВ(t) → 0 при t → ∞ ⇒ y(t) → yПР(t)
6.2.1 Классический метод анализа
Характеристическое уравнение
PK – корни уравнения
AK – постоянные интегрирования
для корней кратности n

Принужденная составляющая
вид частного решения определяется видом воздействия
если f(t) = const, то yПР(t) = const
если f(t) = f(Аin, ϕin, sin(ωt)), то yПР(t) = f(Аout, ϕout, sin(ωt))
обусловлена воздействием источников в цепи
y(t) → yПР(t) при t → ∞
принужденная составляющая называется установившейся yПР(t) = yУСТ(t)
установившееся значение (в случае постоянной вынуждающей силы)
установившаяся функция (в случае гармонической вынуждающей силы)
6.2.1 Классический метод анализа

Этапы расчета
Анализ цепи до коммутации
Определяются токи через индуктивности и напряжения на емкостях в последний момент перед коммутацией.
Определение независимых начальных условий
В соответствии с законами коммутации определяются токи через индуктивности и напряжения на ёмкостях в первый момент после коммутации.
Составление ДУ цепи после коммутации
Составляется система уравнений электрического равновесия для цепи после коммутации. Методом последовательного исключения неизвестных система сводится к одному дифференциальному уравнению цепи.
6.2.1 Классический метод анализа

Этапы расчета (продолжение)
Определение свободной составляющей
По дифференциальному уравнению цепи определяется характеристическое уравнение, находятся корни этого уравнения и с точностью до постоянных интегрирования определяется свободная составляющая
Определение принужденной составляющей
Анализируется цепь для установившегося режима после коммутации
Запись общего вида решения ДУ
Определение постоянных интегрирования
Использование начальных условий
Нахождение решения ДУ
Подстановка постоянных интегрирования
6.2.1 Классический метод анализа

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.1 Классический метод анализа
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
6 Переходные процессы

Подключение постоянной ЭДС
До коммутации
Начальные условия
После коммутации
из II закона Кирхгофа
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
До
После

Анализ RL-цепи (продолжение)
Определение свободной составляющей
Характеристическое уравнение
Корень
Постоянная времени – это время, в течение которого свободная составляющая процесса уменьшается в е≈2,72 раз по сравнению с начальным значением.
Определяет скорость протекания переходного процесса: чем меньше постоянная времени, тем быстрее заканчивается переходный процесс.
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
постоянная времени ЭЦ

Анализ RL-цепи (продолжение)
Определение принужденной составляющей
Анализ режима по постоянному току для установившегося режима после коммутации
Запись общего вида решения ДУ
Определение постоянных интегрирования
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи

Анализ RL-цепи (продолжение)
Нахождение решения ДУ
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
При t → ∞, iСВ → 0 и i → iПР
Напряжение на индуктивности в отличие от тока может изменяться скачком

Подключение гармонической ЭДС
До коммутации
Начальные условия
После коммутации
из II закона Кирхгофа
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи

Анализ RL-цепи (продолжение)
Определение свободной составляющей
Характеристическое уравнение
Корень
Определение принужденной составляющей
Используется метод комплексных амплитуд
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
постоянная времени ЭЦ

Анализ RL-цепи (продолжение)
Запись общего вида решения ДУ
Определение постоянных интегрирования
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи

Анализ RL-цепи (продолжение)
Нахождение решения ДУ
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
При t → ∞, iСВ → 0 и i → iПР

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.1 Классический метод анализа
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи
6 Переходные процессы

Подключение постоянной ЭДС
До коммутации
Начальные условия
После коммутации
из II закона Кирхгофа
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Анализ RС-цепи (продолжение)
Определение свободной составляющей
Характеристическое уравнение
Корень
Определение принужденной составляющей
Анализ режима по постоянному току для установившегося режима после коммутации
постоянная времени ЭЦ
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Анализ RС-цепи (продолжение)
Запись общего вида решения ДУ
Определение постоянных интегрирования
Нахождение решения ДУ
E > U
E < U
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Подключение гармонической ЭДС
До коммутации
Начальные условия
После коммутации
из II закона Кирхгофа
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Анализ RС-цепи (продолжение)
Определение свободной составляющей
Характеристическое уравнение
Корень
Определение принужденной составляющей
Используется метод комплексных амплитуд
постоянная времени ЭЦ
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Анализ RС-цепи (продолжение)
Запись общего вида решения ДУ
Определение постоянных интегрирования
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

Анализ RС-цепи (продолжение)
Нахождение решения ДУ
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.1 Классический метод анализа
6.2.2 Переходные процессы в RL-цепи
6.2.3 Переходные процессы в RС-цепи
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи
6 Переходные процессы

Подключение постоянной ЭДС
До коммутации
Начальные условия
После коммутации
из II закона Кирхгофа
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи

Анализ RLС-цепи (продолжение)
Определение свободной составляющей
Характеристическое уравнение
Корни
или
где
частота резонанса
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи
коэффициент затухания

Анализ RLС-цепи (продолжение)
Определение принужденной составляющей
Анализ режима по постоянному току для установившегося режима после коммутации
Запись общего вида решения ДУ
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи

Анализ RLС-цепи (продолжение)
Определение постоянных интегрирования
т.к.
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи

Анализ RLС-цепи (продолжение)
Нахождение решения ДУ
Апериодический (δ > ω0, p1и p2 ∈ R)
Критический (δ = ω0, p1= p2 = -δ ∈ R)
Колебательный (δ < ω0, p1= p2 =-δ ± jωСВ∈ С)
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи

Анализ RLС-цепи (продолжение)
6.2.4 Переходные процессы в RLС-цепи
Апериодический
Критический
Колебательный
Подключение гармонической ЭДС

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.5 Операторный метод анализа
6 Переходные процессы

Прямое преобразование
A(p) – операторное изображение функции a(t)
k и σ0 – вещественные числа
Обратное преобразование
a(t) – оригинал
Преобразование Лапласа
6.2.5 Операторный метод анализа

Свойство линейности
Теорема дифференцирования
Теорема интегрирования
Теорема смещения
Свойства преобразования Лапласа
6.2.5 Операторный метод анализа
Теорема подобия
Теорема запаздывания
Теорема свертывания

Предельные соотношения
Теорема разложения
pk – простые корни знаменателя
Свойства преобразования Лапласа
6.2.5 Операторный метод анализа

Изображения некоторых функций
6.2.5 Операторный метод анализа

Первый закон Кирхгофа
Уравнения равновесия цепи в операторной форме
6.2.5 Операторный метод анализа
Второй закон Кирхгофа
Операторным сопротивлением называется отношение операторного изображения напряжения к операторному изображению тока при нулевых начальных условиях
операторное сопротивление
операторная проводимость

Операторная схема замещения R
6.2.5 Операторный метод анализа
Эквивалентная схема сопротивления
Операторная схема замещения сопротивления

Операторная схема замещения C
6.2.5 Операторный метод анализа
Эквивалентная схема емкости
Операторная схема
замещения емкости
с источником тока
с источником ЭДС
При

Операторная схема замещения L
6.2.5 Операторный метод анализа
При
Операторная схема
замещения индуктивности
с источником тока
с источником ЭДС
Эквивалентная схема индуктивности

Схема применения метода
Анализ цепи до коммутации. Определение независимых начальных условий
Составление операторной эквивалентной схемы электрической цепи после коммутации
Составление системы уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме
Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений
Определение оригиналов искомых токов и напряжений
6.2.5 Операторный метод анализа

Анализ последовательной RC-цепи
Анализ цепи до коммутации. Определение независимых начальных условий
Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации
6.2.5 Операторный метод анализа

Анализ RС-цепи (продолжение)
Запись уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме
Решение уравнения
Определение оригинала
6.2.5 Операторный метод анализа
единственный корень знаменателя

Анализ последовательной RL-цепи
Анализ цепи до коммутации. Определение независимых начальных условий
Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации
6.2.5 Операторный метод анализа

Анализ RL-цепи (продолжение)
Запись уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме
Решение уравнения
Определение оригинала
6.2.5 Операторный метод анализа
корни знаменателя

Анализ последовательной RLC-цепи
Анализ цепи до коммутации. Определение независимых начальных условий
Составление операторной схемы замещения цепи после коммутации
6.2.5 Операторный метод анализа

Анализ RLС-цепи (продолжение)
Запись уравнения электрического равновесия цепи в операторной форме
Решение уравнения
6.2.5 Операторный метод анализа
корни знаменателя
коэффициент
затухания
частота
резонанса

Определение оригинала
Апериодический (δ > ω0, p1и p2 ∈ R)
Критический (δ = ω0, p1= p2 = -δ ∈ R)
Колебательный (δ < ω0, p1= p2 =-δ ± jωСВ∈ С)
Режимы работы RLC-цепи
6.2.5 Операторный метод анализа

Эквивалентные операторные схемы
Источники тока и напряжений i(t) и u(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p)
Сопротивление R заменяется на R
При нулевых начальных условиях:
индуктивность L заменяется на pL
емкость С заменяется на 1/pC
При не нулевых начальных условиях
индуктивность L заменяется на
pL с источником напряжения Li(0)
емкость С заменяется на 1/pC
с источник напряжения uC(0)/р
6.2.5 Операторный метод анализа

Преимущества
простота
отсутствие громоздких операций по определению постоянных интегрирования
можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов:
контурных токов
узловых напряжений
и др.
6.2.5 Операторный метод анализа

Операторные характеристики
Операторной характеристикой линейной электрической цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи к операторному изображению воздействия при нулевых начальных условиях
Комплексную частотную характеристику (КЧХ) можно рассматривать как частный случай операторной при Re(p) = 0
6.2.5 Операторный метод анализа
воздействие
реакция

Виды операторных характеристик
Операторный коэффициент передачи по напряжению
Операторный коэффициент передачи по току
Операторное сопротивление
Операторная проводимость
6.2.5 Операторный метод анализа
воздействие
реакция
воздействие
реакция

Любая операторная характеристика линейной электрической цепи, не содержащей независимых источников энергии, является рациональной функцией переменной р с вещественными коэффициентами
Нули р0i – значения р, при которых N(р0i)=0, M(р0i)≠0
Полюса рxi – значения р, при которых N(рxi)≠0, M(рxi)=0
масштабный коэффициент
Нули и полюса
6.2.5 Операторный метод анализа

Полюсно-нулевая диаграмма
6.2.5 Операторный метод анализа
воздействие
реакция
Нули и полюса характеризуют Hnm(p) с точностью до постоянного множителя K. По ним можно найти реакцию цепи на заданное воздействие

6.2 Общий подход к анализу переходных процессов
6.2.6 Метод наложения (интегралы наложения)
6 Переходные процессы

Пусть внешнее воздействие x(t) представлено в виде взвешенной суммы некоторых элементарных воздействий
По принципу суперпозиции отклик электрической цепи y(t)
Применение принципа
6.2.6 Метод наложения

При исследовании динамических свойств линейных цепей в качестве типовых элементарных воздействий используется единичная ступенчатая функция 1(t) и дельта-функция δ(t)
Типовые импульсные воздействия
6.2.6 Метод наложения
Функция Хевисайда
δ -функция Дирака

Коммутация электрических цепей
Представление прямоугольного импульса
Преобразование Лапласа
Свойства и применение 1(t)
6.2.6 Метод наложения

Переходной характеристикой h1(t-t0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие неединичного скачка тока или напряжения к высоте этого сигнала при нулевых начальных условиях
Переходная характеристика цепи численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения
Переходная характеристика
6.2.6 Метод наложения
воздействие в виде неединичного скачка
реакция цепи
При

Переходная характеристика
6.2.6 Метод наложения
воздействие на цепь
реакция цепи
При
операторная характеристика цепи

Составление операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий
Нахождение операторной характеристики H(p)
Определение переходной характеристики
Порядок нахождения h1(t)
6.2.6 Метод наложения

Составление операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий
Пример 1
RC-цепь с емкостью на выходе
6.2.6 Метод наложения
воздействие на цепь
реакция цепи

Нахождение операторного коэффициента передачи по напряжению
Определение переходной характеристики
Пример 1 (продолжение)
RC-цепь с емкостью на выходе
6.2.6 Метод наложения
постоянная времени цепи

Составление операторной схемы замещения цепи для нулевых начальных условий
Пример 2
RC-цепь с сопротивление на выходе
6.2.6 Метод наложения
воздействие на цепь
реакция цепи

Нахождение операторного коэффициента передачи по напряжению
Определение переходной характеристики
Пример 2 (продолжение)
RC-цепь с сопротивление на выходе
6.2.6 Метод наложения
постоянная времени цепи

Интеграл Дюамеля
6.2.6 Метод наложения
Интеграл Дюамеля — метод расчета отклика линейных пассивных систем на произвольно меняющийся во времени входной сигнал.
Основан на принципе суперпозиции.
Отклик линейной пассивной системы на составной сигнал, равный сумме нескольких сигналов, представляет собой сумму откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Интеграл Дюамеля (продолжение)
6.2.6 Метод наложения
Отклик системы выражается в виде интеграла от произведения задержанной переходной характеристики на входное воздействие (свертка функций), который носит название интеграла Дюамеля

Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (δ-функции)
Импульсная характеристика
6.2.6 Метод наложения

Контрольная работа № 1
Найти эквивалентное сопротивление между узлами A и D , а также определить ток I для следующей цепи
Определить значения токов для всех ветвей цепи. Расчет произвести методами контурных токов и узловых напряжений.
Вариант 1
Вариант 2