Работа, мощность силы. Кинетическая энергия. Лекция 9

Лекция 9
Работа, мощность силы. Кинетическая и потенциальная энергия – механическое движение в результате взаимодействия механических систем может переноситься с одной механической системы на другую:
- без превращений в другую форму движения, т.е. в качестве того же механического движения,
- с превращением в другую форму движения материи (потенциальную энергию, теплоту, электрическую энергию и т.д.)
Каждый из этих случаев имеет свои измерители (меры) механического движения и механического взаимодействия, отстаиваемые в свое
время Декартом и Лейбницем (см. таблицу):
В настоящее время принят существование и равноправность
обоих (векторных и скалярных) мер движения, каждой
из которых соответствуют свои меры механического
взаимодействия.
Импульс силы является мерой действия силы при
изменении механического движения.
Работа является количественной мерой превращения
механического движения в какую-либо другую форму
движения материи.
Работа силы, приложенной к материальной точке – Пусть точка приложения переменной по величине и направлению силы перемещается по некоторой произвольной траектории. На малом (элементарном) перемещении силу можно считать постоянной и элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения (касательную к траектории движения), умноженной на элементарное перемещение :
Знак элементарной работы определяется
величиной угла α и знаком cosα :
Поскольку часто более удобно работать с острыми углами, то в этом случае
используют острый угол и знак присваивают по следующему простому
правилу: если сила и перемещение совпадают по направлению,
то присваивается знак +, если противоположны по направлению, то знак −.
Элементарная работа может быть записана в виде скалярного произведения: и в проекциях:
Работа на конечном перемещении M M1 получается
суммированием или интегрированием:
Частные случаи: 1. Сила постоянная по величине (F = const)
и направлению (α =const):
2. Сила постоянная по величине (F = const)
и параллельна перемещению (α =0):
3. Сила перпендикулярна перемещению:
1

Лекция 9 (продолжение – 9.2)
Можно доказать следующие теоремы и утверждения:
Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении:
■ Работа постоянной сил по величине и направлению на составном перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы
на каждом из составляющих перемещений:
■ Работа внутренних сил неизменяемой системы равна нулю:
■ Работа силы тяжести не зависит от вида траектории и равна произведению силы тяжести на разность высот:
Работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси. Запишем выражение для элементарной работы силы, приложенной к точке, и выразим элементарное перемещение через угол поворота тела:
h
z
работа силы, приложенной
к вращающемуся твердому
телу, выражается через
момент силы относительно
оси.
В частном случае постоянного значения момента силы относительно оси
работа равна произведению момента силы на угол поворота:
Работа силы, приложенной к вращающемуся твердому телу,
для конечного угла поворота:
Мощность – величина, характеризуемая количеством работы, произведенной в единицу времени:
Мощность силы, приложенной к точке:
Мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу:
■ Работа линейной силы упругости (реакции пружины)
при перемещении из состояния равновесия:
2

Лекция 9 (продолжение – 9.3)
Кинетическая энергия – характеризует способность механического движения превращаться в эквивалентное количество другого движения:
■ Кинетическая энергия
материальной точки:
■ Кинетическая энергия
системы материальных точек:
■ Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении:
■ Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении:
■ Кинетическая энергия
твердого тела при плоском
движении:
Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки – Изменение кинетической энергии точки равно работе сил, действующих на точку на том же перемещении:
Запишем основной закон динамики точки:
Выразим ускорение через скорость и умножим
левую и правую части соотношения скалярно
на дифференциал радиуса-вектора :
Проинтегрируем полученное соотношение:
После подстановки пределов получаем:
Теорема об изменении кинетической энергии системы – Изменение кинетической энергии системы равно работе сил, действующих на систему на соответствующих перемещениях точек системы:
Запишем теорему об изменении кинетической энергии для произвольной точки системы,
при этом выделим работу внешних и внутренних сил, приложенных к данной точке:
Просуммируем левые и правые части соотношений:
В левой части получили разность кинетических энергий системы:
Для неизменяемой системы:
3