Распознавание технических состояний объектов авиационного оборудования по критерию Неймана-Пирсона

Методы теории решений основаны на проверке статистических гипотез о техническом состоянии объекта контроля (ОК). Правила принятия решений должны учитывать:
– результаты наблюдений за состоянием ОК;
– априорные вероятности различных гипотез о состоянии ОК;
– условные вероятности, характеризующие процесс перехода из одного состояния в другое.
Рассмотрим вероятностные процедуры принятия решений о состоянии ОК по наблюдениям диагностических параметров. Пусть z – наблюдение диагностического параметра ОК. По данному наблюдению необходимо выбрать одну из следующих гипотез:
– ОК исправен;
– ОК неисправен.

Для выбора гипотезы необходимо знать пороговое значение наблюдения , которое давало бы следующее решение:
наиболее вероятна гипотеза ;
наиболее вероятна гипотеза .
При этом значение необходимо выбрать таким образом, чтобы минимизировать ошибочные решения.
К ошибочным решениям относятся:
– ложная тревога (принята гипотеза , хотя на самом деле верна гипотеза ). Вероятность принятия такого ошибочного решения обозначим . С ложной тревогой связана ошибка контроля первого рода;
– пропуск отказа (принята гипотеза , хотя на самом деле верна гипотеза ). Вероятность принятия такого ошибочного решения обозначим . С пропуском отказа связана ошибка контроля второго рода.

Будем считать, что для гипотезы в пространстве наблюдений задано распределение с условной плотностью вероятности ,
а для гипотезы – распределение с условной плотностью вероятности .
Цель принятия решения теперь состоит в том, чтобы полученному наблюдению z поставить в соответствие одну из двух указанных плотностей или , как наиболее правильно характеризующую вероятностное распределение в пространстве наблюдений. Если наблюдение z является скалярной величиной, то рассматриваемые плотности можно представить так, как показано на рисунке, где – условная плотность вероятности появления наблюдения z.

Процедура принятия решения состоит в сравнении наблюдения z с некоторым пороговым значением . Причем, если , то принимается гипотеза , если , то принимается гипотеза . Величина z обычно формируется по нескольким наблюдениям. Однако здесь для удобства предположим, что z – скалярная величина.
Тогда, с учетом наших предположений, для вероятности пропуска отказа можно записать
(6.1)

Аналогично для вероятности ложной тревоги получаем
(6.2)
Из выражений (6.1) и (6.2) следует, что, например, вероятность
пропуска отказов можно получить сколь угодно малой, если не
обращать внимание на вероятность ложной тревоги . На практике обычно вероятность ложной тревоги выбирают равной некоторой допустимой величине, а правило принятия решения (т.е. порог ) выбирают так, чтобы обеспечить минимально возможное значение вероятности пропуска отказа .

Критерий Неймана-Пирсона определяет правило принятия решения из условия минимизации вероятности пропуска отказа (ошибки контроля второго рода) при некотором заданном уровне γ вероятности ложной тревоги (ошибки контроля первого рода). Действительно, для обеспечения заданного значения вероятности ложной тревоги необходимо соответствующим образом выбрать и зафиксировать значение порога, что приведет к вполне определенному значению вероятности пропуска отказа.

В реальных случаях, когда имеется несколько наблюдений, оказывается возможным, используя метод множителей Лагранжа, наложить ограничение на вероятность , не фиксируя одновременно значение вероятности пропуска отказа
. В этом случае путем выбора значения необходимо найти минимум выражения
(6.3)
где λ – множитель Лагранжа, а γ – требуемое значение вероятности ложной тревоги.

При оптимальном выборе порогового значения (допуска) для наблюдений производная функционала (6.3) по z в точке равна 0, а именно:
Подставляя выражения (6.1) и (6.2) для вероятностей
и в уравнение (6.3) для функционала J и дифференцируя его, получим