Перенос теплоты

Однородная плоская стенка.
Про­стейшей и очень распространенной за­дачей, решаемой теорией теплообмена, является определение плотности тепло­вого потока, передаваемого через плоскую стенку толщиной δ, на повер­хностях которой поддерживаются темпе­ратуры tc1 и tc2
Рис. 1. Стационарное распределение темпе­ратуры по толщине плоской стенки
(рис. 1).

Температура изменяется только по толщине пласти­ны — по одной координате х. Такие за­дачи называются одномерными, решения их наиболее просты, и в данном курсе мы ограничимся рассмотрением только од­номерных задач. Учитывая, что для од­номерного случая
(1)
и используя основной закон теплопро­водности q = −λ grad t, получаем дифференци­альное уравнение стационарной тепло­проводности для плоской стенки:
(2)
В стационарных условиях, когда энергия не расходуется на нагрев, плот­ность теплового потока q неизменна по толщине стенки. В большинстве практи­ческих задач приближенно пред­полагается, что коэффициент тепло­проводности λ, не зависит от температуры и одинаков по всей толщине стенки.
Зна­чение λ находят в справочниках [15] при температуре
(3)

средней между температурами поверхно­стей стенки. (Погрешность расчетов при этом обычно менъше погрешности исход­ных данных и табличных величин, а при линейной зависимости коэффициента теплопроводности от температуры λ =а +bt
точная расчетная формула для q не отличается от приближенной).
При λ = соnst
(4)
т. е. зависимость, температуры t от ко­ординаты х линейна (см. рис. 1) .
Разделив переменные в уравнении (4) и проинтегрировав по t от tc1 до tc2 и по х
от 0 до δ:
( 5)
получим зависимость, для расчета плот­ности теплового потока
(6)
Или
(7)
По формуле (7) можно рассчитать коэффициент теплопроводности материа­ла, если экспериментально замерить теп­ловой поток и разность температур на поверхностях пластины (стенки) извест­ных размеров.

Отношение λF/δ называется тепло­вой проводимостью стенки, а обратная величина δ / (λF) тепло­вым или термичеcким сопротив­лением стенки и обозначается Rλ. Пользуясь понятием термического сопро­тивления, формулу для расчета теплово­го потока можно представить в виде
(8)
аналогичном закону Ома в электротехни­ке (сила электрического тока равна раз­ности потенциалов, деленной на электри­ческое сопротивление проводника, по ко­торому течет ток).
Очень часто термическим сопротив­лением называют величину δ/λ, кото­рая равна термическому сопротивлению плоской стенки площадью 1м2.
Многослойная стенка.
Формулой (8) можно пользоваться и для расчета теплового потока через стенку, состоя­щую из нескольких плотно прилегающих друг к другу слоев разнородных материа­лов (рис. 2), например кирпичную стен­ку здания, покрытую слоем штукатурки, краски и т. д. Термическое сопротивление такой стенки равно сумме термических сопротивлений отдельных слоев:
(9)

В формулу (8) нужно подставить разность температур в тех точках (по­верхностях), между которыми «включе­ны» все суммируемые термические сопротивления, т.е.
Рис. 8.3. Распределение температуры по тол­щине многослойной плоской стенки
В формулу (8) нужно подставить разность температур в тех точках (по­верхностях), между которыми «включе­ны» все суммируемые термические сопротивления, т.е. в данном случае tc1 и tc(n+1):
(10)
Формулу (10) легко получить, за­писав разность температур по формуле (7) для каждого из n слоев многослой­ной стенки и сложив все n выражений с учетом того, что во всех слоях Q имеет одно и то же значение. При сложении все промежуточные температуры сократятся.

Распределение температур в преде­лах каждого слоя — линейное, однако в различных слоях крутизна температур­ной зависимости различна, поскольку со­гласно формуле (4) (dx/dt)I = −q/λi. Плотность теплового потока, проходяще­го через все слои, в стационарном режи­ме одинакова, а коэффициент теплопро­водности слоев различен, следовательно, более резко температура меняется в сло­ях с меньшей теплопроводностью. Так, в примере на рис. 2 наименьшей тепло­проводностью обладает материал второ­го слоя, а наибольшей — третьего.
Рассчитав тепловой поток через мно­гослойную стенку, можно определить па­дение температуры в каждом слое по соотношению (8) и найти температу­ры на границах всех слоев. Это очень важно при использовании в качестве теплоизоляторов материалов с ограничен­ной допустимой температурой. Обобщен­ную формулу для расчета температуры tc(k+1) за любым слоем (i +k) можно по­лучить из выражения (10), подставив в него n = k:
(11)

Контактное термическое сопротивле­ние. Идеально плотный контакт между отдельными слоями многослойной стенки получается, если один из слоев наносят на другой в жидком состоянии или в виде текучего раствора (цементного, гипсово­го и др.). Твердые тела касаются друг друга только вершинами профилей шеро­ховатостей. Площадь контакта вершин пренебрежимо мала, и весь тепловой по­ток идет через воздушный зазор. Это создает дополнительное (контактное) термическое сопротивление Rk. Его мож­но приближенно оценить, если принять, что толщина зазора между соприкасаю­щимися телами δ в среднем вдвое мень­ше максимального расстояния δмакс меж­ду впадинами шероховатостей. Так, при контакте двух пластин с шероховатостью поверхности 5 класса (после чистовой обточки, строгания, фрезерования) δмакс ≈ 0,03 мм и в воздухе комнатной температуры
Это эквивалентно термическому сопро­тивлению слоя стали толщиной около 30 мм.
Для уменьшения контактного сопро­тивления необходимо заполнять зазоры каким-либо материалом с более высокой, чем у воздуха, теплопроводностью, на­пример спаять или хотя бы склеить по­верхности.

Цилиндрическая стенка. Очень часто теплоносители движутся по трубам
и требуется рассчитать тепловой поток передаваемый через цилиндрическ стенку трубы. Задача о распространения теплоты в цилиндрической стенке при известных и постоянных температурах на внутренней и наружной поверхностях, также одномерная, если ее рассматривать в цилиндрических координатах. Температура изменяется только вдоль радиуса (по координате г), а по длине трубы и по ее периметру остается неизменной. В этом случае grad t = dt/dr и закон Фурье будет иметь вид
(12)
или для трубы длиной l
(13)
Интегрировать удобно уравнение (13), так как тепловой поток не меняется по толщине стенки, а q = q/F ≠ const, поскольку площадь F = 2πrl, через которую проходит тепловой поток, зависит от радиуса. Разделим переменные:
(14)
Интеграл уравнения (14)
(15)
показывает, что распределение температуры по радиусу стенки подчиняется ло-| гарифмическому закону (рис. 3).

Рис. 3. Изменение температуры по толщине однослойной цилиндрической стенки
У внутренней поверхности, где кривизна стенки больше, температура меняется резче, чем у наружной.
Интегрирование уравнения (14) в определенных пределах (по t от tc1 до tc2 и по r от r1 до r2) дает зависимость для расчета теплового потока через ци­линдрическую стенку:
(16)
Для труб обычно измеряется и при­водится в условиях задач диаметр, а не радиус, поэтому отношение радиусов r2/r1 заменено отношением диаметров d2/d1
Термическое сопротивление для ци­линдрической стенки имеет вид
(17)

причем при d2/d1≈ 1 расчет должен про­водиться с высокой точностью, поскольку небольшая погрешность, допущенная при определении отношения d2/d1, в этом случае дает значительную ошибку при вычислении логарифма. Например, если значение d2/d1 = 1,09 округлить до 1,1 (погрешность округления меньше 1 %), погрешность вычисления логариф­ма, а следовательно, и теплового потока будет больше 10 %. С другой стороны, оказывается, что при отношении d2/d1≤ 1,5 погрешность определения термиче­ского сопротивления цилиндрической стенки по формуле Rλ = δ/(λF), справед­ливой для плоской стенки [поверхность трубы считается по среднеарифметиче­скому диаметру d = 0,5 (d1+d2) дает ошибку меньше 1,5 %. Более высокая точность в практических расчетах требу­ется редко.
Для определения теплового потока через многослойную цилиндрическую стенку следует, как и для многослойной плоской стенки, просуммировать терми­ческие сопротивления отдельных слоев:
(18)
Отличие формулы (18) от (10) заключается только в способе расчета термических сопротивлений отдельных слоев для плоской и цилиндрической сте­нок. Но и это различие существенно только при больших отношениях наруж­ного и внутреннего диаметров каждого слоя dн/dвн =d(i+1) > 1,5. При мень­ших отношениях dн/dвн термические со­противления отдельных слоев, как уже было показано, целесообразнее считать по упрощенной формуле Rλi = δi/(λiFi) справедливой для плоской стенки.
Расчет температур на границах слоев в данном случае осуществляется так же, как для многослойной плоской стенки, т.е. по формуле (11).

Шаровая стенка. При постоянных температурах tc1 и tc2 на внутренней (ра­диусом r1|) и наружной (радиусом r2) поверхностях шаровой стенки темпера­турное поле одномерно в сферических координатах, т. е. температура изменяет­ся только по радиусу. Следовательно,
(19)
Разделив переменные и проинтегри­ровав по t в пределах от tc1 до tc2 и по r в пределах от r1 до r2:
( 20)
получим расчетную формулу для тепло­вого потока через шаровую стенку:
(21)
Интересно отметить, что в отличие от цилиндра и пластины тепловая изоляция бесконечной толщины (r2→ ∞), нало­женная на шар, не исключает теплопотери от него даже в стационарном режиме:
(22)

Тела сложной конфигурации. В этом случае приходится рассматривать изме­нение температуры по двум или трем координатам, интегрирование уравнения теплопроводности сильно усложняется. Получить аналитическое решение часто не удается, тогда используют численные методы решения (§ 14.3).
Иногда проще воспользоваться мето­дом электротепловой аналогии. Дело в том, что законы распространения теп­лоты и электричества в сплошных средах описываются одинаковыми по форме (аналогичными) уравнениями.
Закон Ома в дифференциальной фор­ме j = − grad E аналогичен закону Фурье Соответственно аналогич­ными получаются и решения задач теп­лопроводности и электропроводности для тел одинаковой формы. Каждому тепло­вому параметру в этих решениях соответствует вполне определенный элек­трический аналог: плотности теплового потока q — плотность тока j, тепловому потоку Q — сила тока I, температуре t — электрический потенциал Е, тепло­проводности λ — электропроводность σ.
Пользуясь электротепловой анало­гией, можно по имеющимся численным значениям электрических величин рас­считать соответствующие тепловые и на­оборот. Например, выражения для тер­мического Rλ и электрического R сопро­тивлений в решении любой конкретной задачи различаются только входящими в них значениями λ, и σ, т. е.
(23)