Силы инерции. Лекция 9

Вопрос был на 1500 евро…
Во французском аналоге интеллектуальной игры "Кто хочет стать миллионером" участнику задали вопрос: "Что вращается вокруг Земли?" с такими вариантами ответов:
- Луна; -Солнце; -Марс; -Венера
Сначала интеллектуальный француз попросил помощи зала.
Зал ответил: 42% за Луну, 56% - за Солнце
Интеллектуал остановился на Солнце.

План лекции
Неинерциальные системы отсчёта (НСО). Силы инерции.
Поступательно движущиеся (НСО). Принцип эквивалентности.
Равномерно вращающаяся система отсчёта. Центробежная сила инерции. Сила Кориолиса.
Примеры решения задач в НСО.

Демонстрации
Песочный маятники Фуко на платформе

Неинерциальные системы отсчёта. Силы инерции
Для ИСО: a = aотн
Как «подправить» уравнение динамики в НСО? maотн = F + Fин
Для НСО: a = aотн + a* ⇨
ma = maотн + ma* ⇨
maотн = ma + (-ma*) = F + Fин ⇨
Fин = -ma*
Сила инерции Fин = -ma* зависит от:
параметров НСО
положения и скорости частицы

Поступательная сила инерции
F = - ma0
В ускоряющейся ракете на все тела действует сила инерции F = - ma0 - возникает однородное силовое поле, эквивалентное однородному полю тяжести.
Принцип эквивалентности:
Никакими физическими опытами невозможно отличить однородное поле тяготения от однородного поля сил инерции.
Состояние невесомости при свободном падении в однородном поле тяжести эквивалентно движению в свободном пространстве: силу тяжести компенсирует сила инерции.

Поступательная сила инерции
Fпси = - ma0. Примеры
Вес тела в лифте; блок с грузами.
Маятник на тележке.
Аквариум на тележке.
Невесомость – проявление силы инерции: сила тяжести уравновешивается силой инерции!

Равномерно вращающаяся СО. Центробежная сила. Сила Кориолиса
По краю равномерно вращающегося диска движется частица со скоростью vотн.
Уравнение движения в ИСО:
F = mv2/r = m(vотн + ωr)2/r =
mvотн2/r + 2mvотнω + mω2r
В векторном виде:
F = maотн - 2mvотнω - mω2r ⇨
maотн = F + 2m[vотнω]+ mω2r
Fкор = 2m[vотнω] – сила Кориолиса
Fцб = mω2r – центробежная сила

Основное уравнение динамики в неинерциальной системе отсчёта
Если система перемещается поступательно с ускорением a0 и вращается с постоянной угловой скоростью ω, то:
ma′ = F – ma0 + mω2r + 2m[v′ ω]
F – реальная сила
Fпси = m (- a0) – поступательная сила инерции
Fцб = mω2r – центробежная сила инерции
Fкор = 2m[vотнω] – сила Кориолиса.
Сила Кориолиса перпендикулярна скорости ⇨ не производит работы!

Особенности сил инерции
Силы инерции существуют только в НСО
Силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами НСО. Третий закон Ньютона для сил инерции не работает.
Все силы инерции пропорциональны массе тела (подобно силам тяготения)

Центробежная сила и ускорение свободного падения: g = g0 + ω2r┴
g ≠ g0 (= GM/R2)
Ускорение свободного падения на экваторе уменьшается на:
δэкв = ω2R/g0 = 0,33%
в Долгопрудном (φ = 560) :
δ = ω2Rcos2φ/g0 = 0,1%
Вертикаль не вертикальна!
Вертикаль отклоняется от g0 на угол:
α = ½ ω2Rsin2φ/g0

Центробежный потенциал:
U = - ½ mω2r2 + C
Задача про карусель:
ω = 1 рад/с; R = 5 м; M = 60 кг
Какую работу совершит человек, если перейдёт от периферии к центру?
Решение:
A = U2 – U1 = ½ Mω2R2 = 750 Дж

Шарик во вращающейся трубке (№12.41)
В центре вращающейся трубки находится шарик. Ось вращения проходит через центр трубы и перпендикулярна трубке.
Скорость вращения Ω;
длина трубки L = 2R
С какой скоростью вылетит шарик V = ?
Решение:
mΩ2R2/2 = mv’2/2 ⇨ v’ = ΩR – относительная скорость ⇨ абсолютная скорость
v0 = (2)1/2 ΩR

Сила Кориолиса и стрельба на карусели (№8.5)
Карусель: T = 10 c; R = 5 м; v = 300 м/с. Мишень – диаметрально противоположна.
Под каким углом надо целиться?
Решение:
ay = aкор = 2ωv ⇨
S = 2R = v2sin2α/ay ⇨
α = 2Rω/v = 4πR/vT = 1.20

Отклонение падающих тел от вертикали.
Сила Кориолиса проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку:
Экватор:
aкор = 2ωv = 2ωgt ⇨ vy = ωgt2 ⇨
Sэкв = 1/3 ωgt3 = 2/3 ωh(2h/g)1/2
h = 500 м ⇨ Sэкв = 24,5 см
Москва:
для Останкинской телевышки φ = 560 c.ш.
s = s(φ) = Sэквcosφ ≈ 14 см

Сила Кориолиса и проблема правого рельса у железнодорожников.
Поезд массы m (масса вагона m1 = 60 Т) движется по меридиану на широте φ со скоростью v = 30 м/с.
Сила бокового давления F = ?
Решение:
F = 2m1vωsinφ = 220 H (≈ 22 кг) – сила от каждого вагона она правый рельс.
Правый рельс истирается сильнее.
В северном полушарии правый берег рек размывается сильнее.

Сила Кориолиса и артиллеристы (12.9). Пушка Берта (обстрел Парижа)
V0 = 900 м/с; S = 18 км; φ = 600 с.ш.
Решение:
ΔS = aкорt2/2 = ω S2sinφ /v0 = 23,6 м
Пушка Берта:
дальность стрельбы – 110 км
Отклонение из-за Кориолиса ~ 1км!

Солнце вращается вокруг Земли!
Уравнение движения Солнца:
Mac = Fкор - Fцб = 2Mvω – Mω2r = Mω2r
ac = ω2r

Крышка фотоаппарата Леонова
Как будет двигаться в кабине спутника предмет с небольшой скоростью v = 1 см/с? (12.68)
Спутник на круговой околоземной орбите → сила тяжести уравновешена центробежной силой.
Остается Кориолис: под действием Кориолиса колпачок будет кружить по кругу. Радиус окружности:
2mvω = mv2/R → R = v/2ω = vR/2vI ~ 4 м.