Сложение потенциальных потоков

Содержание

Слайд 2

Лекция 6 Плоское потенциальное движение

Лекция 6 Плоское потенциальное движение

Слайд 3

Сложение потенциальных потоков

Если поток является результатом сложения двух потенциальных течений, то он

Сложение потенциальных потоков Если поток является результатом сложения двух потенциальных течений, то
также будет потенциальным.

Потенциал скоростeй сложного двuженuя получается методом наложения по принципу независимости действия сил, т. е. потенциал скорости равен алгебраической сумме потенциалов скоростей слагаемых потоков.

Слайд 4

Сложение потенциальных потоков

Сложение параллельного течения и источника

Исследуем тип течения, образующегося при сложении

Сложение потенциальных потоков Сложение параллельного течения и источника Исследуем тип течения, образующегося
параллельного течения со скорос-тью u и течения из источника.

Точку, где помеща-ется источник, примем за начало координат.

х

у

Распределение скоростей вокруг источника задает-ся формулой

Слайд 5

Сложение потенциальных потоков

Легко показать, что на оси х течения должна существовать такая

Сложение потенциальных потоков Легко показать, что на оси х течения должна существовать
точка, в которой скорости течений взаимно уничтожаются; в этой точке, таким образом, жидкость должна находиться в покое.

Такие точки течения, в которых скорость жидкости равна нулю, встречаются и при других типах течения. Эти точки обычно называются критическими, напорными.

Расстояние а этой точки от источника определяется paвенством

Слайд 6

Сложение потенциальных потоков

Направление результирующих скоростей в точках, лежащих нa оси у определится

Сложение потенциальных потоков Направление результирующих скоростей в точках, лежащих нa оси у определится формулой
формулой

Слайд 8

Сложение потенциальных потоков

Видно, что угол наклона этих скоростей к оси х, постоянно

Сложение потенциальных потоков Видно, что угол наклона этих скоростей к оси х,
убывает с возрастанием у, стремясь к нулю. Все течение от источника отклоняется влево, а в бесконечности течение переходит в чисто параллельное. Вся вытека-ющая из источника жидкость остается внутри разомкнутой сзади кривой.

При отсутствии трения ничто не препятствует замене этой кривой твердой стенкой, т. е. приходим к течению, имеющему место при обтекании спереди закругленного бесконеч-но длинного тела

Слайд 9

Сложение потенциальных потоков

Уравнение Бернулли полностью остается в силе и после наложения двух

Сложение потенциальных потоков Уравнение Бернулли полностью остается в силе и после наложения
течений. В бес-
конечности все линии тока становятся парал-
лельными, а потому и давления должны быть одинаковыми в плоскостях, перпендикулярных направлению течения.

Но это возможно лишь при равенстве скоростей, т. е. когда лента шириной b, в которую переходит течение от источника в бесконечности (что совпадает с шириной обтекаемого тела в бесконечности), также приобретает скорость u.

Слайд 10

Отсюда эта ширина b определяется уравнением:

b ·и = Q;

b = Q/и.

К

Отсюда эта ширина b определяется уравнением: b ·и = Q; b =
этой величине асимптотически приближается шири-
на бесконечно длинного обтекаемого тела.

Слайд 11

Сложение потенциальных потоков

α1

s1

α2

α2-α1

α2-α1

s2

Пусть в точке А помещается сток, а в точке В

Сложение потенциальных потоков α1 s1 α2 α2-α1 α2-α1 s2 Пусть в точке
– источник, оба с одинаковой интенсивностью Q.

На схеме показано сло-жение этих скоростей по закону параллелограмма

Сложение источника
и стока.

С

Таким образом направле-ние течения в точке С совпадает с направлени-ем результирующей скорости

Слайд 12

Сложение потенциальных потоков

Сложение потенциальных потоков

Слайд 13

Сложение потенциальных потоков

Cкорость с направлена по касатeльной к окружности, проходящей через точки

Сложение потенциальных потоков Cкорость с направлена по касатeльной к окружности, проходящей через
ABC. Окружность представляет собой линию тока.

Линия, огибающая все векторы скорости является не чем иным, как траекторией частицы.

Линиu mокa результирующего течения (источник+сток) представляют собой nучок окружностей, nроходящuх через точки А и В.

Слайд 14

Сложение потенциальных потоков

Диполь

Если предположить, что источник и сток помещаются в одной

Сложение потенциальных потоков Диполь Если предположить, что источник и сток помещаются в
точке, то с первого взгляда трудно представить себе каким образом может вообще оказать какое-нибудь воздействие подобная система, поскольку течение источника будет тотчас же уничтожаться стоком, сводя к нулю их воздействие на окружающую среду.

Слайд 15

Сложение потенциальных потоков

Однако, можно рассматривать расстояние между источником и стоком l как

Сложение потенциальных потоков Однако, можно рассматривать расстояние между источником и стоком l
бесконечно малую величину, стремящуюся к пределу.

Результирующая скорость в точке С

при l равном нулю, тоже обратится в ноль. Но есть возможность, уменьшая l, увеличивать Q для соблюдения равенства

Слайд 16

Сложение потенциальных потоков

Эта пара «источник-сток» называется диполем. Произведение Q·l=М – момент диполя,

Сложение потенциальных потоков Эта пара «источник-сток» называется диполем. Произведение Q·l=М – момент
а ось х – ось диполя.

Момент диполя - величина постоянная, линии тока - семейство окружностей, так как s1= s2=r. Тогда скорость в точке на расстоянии r от центра диполя определяется формулой

Эта формула верна, и в случае конечных расстояний между источником и стоком, но лишь для точек, находящихся на большом расстоянии от них.

Слайд 17

Сложение потенциальных потоков

Влияние диполя убывает с расстоянием быстрее, чем одиночного источника или

Сложение потенциальных потоков Влияние диполя убывает с расстоянием быстрее, чем одиночного источника или одиночного вихря
одиночного вихря

Слайд 18

Сложение потенциальных потоков

Сложение параллельного течения с источником и стоком

l

Результат сложения источника

Сложение потенциальных потоков Сложение параллельного течения с источником и стоком l Результат
и стока равной интенсивности с параллельным течением со скоростью и

Слайд 19

Влево от точки А скорость с пары источника и стока направлена противоположно

Влево от точки А скорость с пары источника и стока направлена противоположно
скорости и . Так как она изменяется непрерывно, то в некоторой точке С скорости взаимно уничтожаются.

Сложение потенциальных потоков

Paccтояние до этой критической точки от начала координат подсчитывается из уравнения

Слайд 20

Сложение потенциальных потоков

Вторая критическая точка имеет абсциссу «-а».

В этих границах будет

Сложение потенциальных потоков Вторая критическая точка имеет абсциссу «-а». В этих границах
теперь заключено все течение от источника и стoка. Течение будет ограничено также и по оси у; окaзываясь замкнутым внутри эллипсообразной кривой. Если заменить эту кривую твердой стенкой и отвлечься от процессов внутри нее, то получен случай обтекания эллипсоидального тела

Максимальную ширину тела можно подсчитать из условия, что между у=0 и у=b/2 секундная расход протекающей жидкости должен рав-
няться Q/2.

Слайд 21

Сложение потенциальных потоков

Сложение источника и вихря

Это суммарное течение называют вихреисточ-ником, если

Сложение потенциальных потоков Сложение источника и вихря Это суммарное течение называют вихреисточ-ником,
Q > 0,и вихрестоком, если Q < 0.

Тогда скорости в точке

Поместим источник и вихрь в начало координат:

Слайд 22

Сложение потенциальных потоков

Угол α величина постоянная и, как можно ви-деть, точка, для

Сложение потенциальных потоков Угол α величина постоянная и, как можно ви-деть, точка,
которой определялась резуль-тирующая скорость, лежит на линии тока, так как скорость направлена по касательной к ней.

Тогда

Откуда после интегрирования и определения постоянной интегрирования получаем

Изопотенциальными линиями служат логариф-мические спирали