Связь напряженности и потенциала

Работа кулоновской силы над зарядом
равна убыли его потенциальной энергии

и поделим на пробный заряд q:
Приравняем

Компонента напряженности поля в каком-либо направлении l по модулю равна производной потенциала по этому направлению.

В потенциальном поле сил:
Опять делим на пробный заряд.

или

Значит

Проведем оси координат так, чтобы две из осей (y и z) шли по касательной к эквипотенциальной поверхности, а третья (x) была перпендикулярна к ней.
x
y
z
единичный вектор нормали к эквипотенциальной поверхности.
Направлен в сторону увеличения потенциала.

По осям y и z потенциал не меняется, и производные ϕ по у и z равны нулю.
Не равна нулю только

Три формулы, связывающие напряженность и потенциал:

1. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Выводы:

2. Вектор градиента направлен в сторону максимального роста потенциала, а вектор напряженности – в противоположную.