Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля. Лекция 10

Метод участков
Если разбить тонкие контуры на отдельные участки, то взаимную индуктивность между тонкими контурами можно записать в виде суммы интегралов по участкам:
l1k
l2p
r
1
2
l1k
l2p
r

Выражение, полученное под знаком двойной суммы, можно считать взаимной индуктивностью между двумя отрезками контуров:
Аналогично для вычисления индуктивности, учитывая, что m = n и проводя интегрирование один раз по оси, а другой по внутреннему контуру, можем записать:
Если сравнить формулы для участков, полученные для определения взаимных индуктивностей Mkp и формулы для взаимных потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, то можно заметить их сходство:

Индуктивность контуров, составленных из прямолинейных отрезков
Если отрезки прямолинейны, то cosθ может быть вынесен за знак интеграла, так как на всем интервале интегрирования угол θ между прямолинейными отрезками остается постоянным. В этом случае выражение для взаимной индуктивности между двумя прямолинейными отрезками принимает вид:
Для собственной внешней индуктивности прямолинейного отрезка, учитывая, что θ = 0 и cosθ = 1, можем записать:
Выражения для потенциальных коэффициентов, полученные по методу средних потенциалов, не позволяют обеспечить достаточно высокую точность из-за необоснованного предположения о равномерном распределении заряда вдоль отрезков проводников (τ = const). Однако, аналогичные выражения для расчета индуктивностей по методу участков абсолютно точны, так как ток в проводнике во всех его сечениях одинаков (i = const).

Индуктивности систем параллельных проводов
В системе параллельных проводов с токами поле имеет плоскопараллельный характер, векторный потенциал, как и плотность тока, имеет единственную составляющую, направленную вдоль оси z.
Разность векторных магнитных потенциалов на разных сторонах рамки, удаленных на расстояния a и b от провода, мы получили в виде:
По аналогии векторный магнитный потенциал в системе проводов с токами можем записать:
где rk – расстояние от рассматриваемой точки до соответствующего провода

Двухпроводная линия с прямым и обратным током
Определим внешнее потокосцепление и внешнюю индуктивность участка линии длиной l , используя контур, расположенный на ближних друг к другу поверхностях проводов.
В произвольной точке около двухпроводной линии векторный магнитный потенциал равен
Тогда векторные потенциалы на внутренних поверхностях первого и второго провода имеют вид
Внешний магнитный поток и внешняя индуктивность двухпроводной линии равны соответственно
z
R
D
i
1
2
l
r1
r2
Az

Внутренняя индуктивность этой линии определяется магнитным потоком внутри прямого и обратного провода (общая длина 2l )
Окончательно индуктивность двухпроводной линии равна
В реальных линиях расстояние между проводами превышает радиус провода примерно в 1000 раз, тогда

Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями.
Зададимся током в первой линии и определим векторный магнитный потенциал на осях проводов второй линии:
r12
r1/2/
r12/
r1/2
1
1/
2
2/

Поток взаимоиндукции, сцепляющийся со второй линией, равен
Взаимная индуктивность между двумя двухпроводными линиями определяется соотношением:

Две двухпроводные линии, расположенные симметрично в параллельных плоскостях.
D1
h
D2
1
1/
2
2/
D1
D2
1
2
2/
1/
D
h
1
2
1/
2/

Если линии расположены на одной высоте, то h = 0 и формула упрощается:
Если же расстояние между проводами линии (рис.10–6в) одно и тоже (D1 =D2 = D), то взаимная индуктивность определяется из выражения:

Линии расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях.
Провода второй линии расположены в плоскости симметрии первой линии
Провода второй линии расположены вне плоскости симметрии первой линии . В этом случае:
D1
b
D2
1
1|
2
2|