Теоретические основы электротехники. Теория электромагнитного поля

Применение функций комплексного переменного для описания плоскопараллельных полей

Линии равного потенциала в плоскости xOy определяются уравнением:
- поток вектора сквозь поверхность, которую описал бы
отрезок MmA, перемещаясь параллельно самому себе в
направлении оси Oz и проходя путь l
- поток на единицу длины проводов
- если все точки M (x,y) лежат на одной и той
же линии напряженности поля
- многозначная функция потока
Функция потока
Линии равной функции потока совпадают с линиями напряженности
Одна из линий напряженности выбирается в качестве линии нулевого потока. Выбор может быть сделан произвольно

Выражение для напряженности через функцию потока
Для декартовой системы координат:
Условимся считать функцию потока, возрастающей влево от вектора для наблюдателя, расположившегося так, чтобы для него вектор направлен снизу вверх

Уравнения Лапласа для функций потенциала и потока
Продифференцируем первое уравнение по x , а второе по y
Продифференцируем первое уравнение по y , а второе по x :
(1)
Таким образом функции U и V удовлетворяют уравнению Лапласа

Функция комплексного переменного
z = x+jy = r·e jθ
Плоскость комплексного переменного
Рассмотрим комплексную величину:
- функции x и y
Функция
- регулярная аналитическая функция комплексного переменного
однозначна, непрерывна и имеет непрерывную производную во всех точках области
Условия Коши-Римана для функции комплексного переменного:
При этих условиях производная функции не зависит от направления дифференцирования

Сравнение условий Коши-Римана и выражений для напряженности поля:
- комплексный потенциал поля
Составляющие напряженности поля :

(1)
Подставляя (2) в (1) , получаем:
(2)
Задача расчета поля решена, если найдена аналитическая функция , удовлетворяющая граничным условиям на поверхности провода
Исследуя различные аналитические функции комплексного переменного можно найти соответствующие им поля и получить таким образом решения для ряда конкретных случаев

Метод заданного комплексного потенциала.
Этот метод расчета плоскопараллельных полей заключается в предварительном задании некоторой комплексной функции на плоскости – комплексного потенциала W(z) и последующего определения, какой геометрической области предложенная функция W(z) соответствует. Координаты точки на плоскости могут быть заданы в декартовой или полярной системе: z = x+jy = r·e jθ
Ι. Пусть комплексный потенциал задан в виде:
W(z) = az + b = (ax + b) + jay = V + jU ,
тогда:
V = ax + b = const - уравнение линии напряженности, т.е. x = const вертикальные линии, а
U = ay = const - уравнение линии равного потенциала т.е. y = const горизонтальные линии.

При а > 0 с ростом x и y растут соответственно V и U . Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока (ΔV = const и ΔU = const), получаем постоянство приращения координат при переходе от линии к линии ( Δx = const и Δy = const )
V1
V2
V3
V4
V5
U1
U2
U3
U4
U5
y
Совместив поверхности двух проводников с двумя линиями равного потенциала (U1 и U4), получаем картину поля между двумя плоскими проводящими пластинами (внутри плоского конденсатора). Таким образом, мы установили, какой геометрической области соответствует принятый комплексный потенциал.

ΙΙ. Пусть комплексный потенциал задан в виде:
W(z) = jA ln z = jA ln(r·ejθ) = jA ( ln r + jθ) = – Aθ + jA ln r = V + jU, тогда:
V = – Aθ = const уравнение линии напряженности, т.е. θ = const. Эти линии представляют собой лучи, исходящие из начала координат;
U = A ln r = const уравнение линии равного потенциала, т.е. r = const . Эти линии представляют собой концентрические окружности с центром в начале координат.
Принимая постоянным приращения потенциала и функции потока (ΔV = const и ΔU = const), получаем постоянство приращения координаты Δθ = const при переходе от одной к другой линии напряженности и постоянство отношений
радиусов соседних линий равного потенциала

Поле уединенного заряженного кругового цилиндра
При θ =2π получаем поверхность, охватывающую весь проводник с полным зарядом

Поле создается тонкой заряженной нитью, расположенной
в точке с координатой z = z0
W = j A ln( z – z0)
j y
z
x
z – z0
z0
0
W(z) = jA ln z

ΙΙΙ. Поле двух тонких заряженных нитей
Для двух заряженных нитей с зарядами τ1 и τ2, расположенных в точках с координатами z10 и z20 запишем выражение для комплексного потенциала, воспользовавшись принципом наложения:
W (z) = jA1 ln (z–z10) + jA2 ln (z–z20) + C1 + j C2.
C1 и C2 – произвольные постоянные, зависящие от выбора места расположения начальных (нулевых) линий функции потока и потенциал
τ1 = – τ2 = τ
Комплексный потенциал в произвольной точке имеет вид:

z10 = – b ; z20 = + b
+ b
– b
0
θ1
θ2
z2 = (z – b)
z1 = (z + b)
r1
r2
z
x
y

z1 = z + b = r1
z2 = z – b = r2
= V + j U
Положим C2=0 , тогда получим U=0 при r1=r2, то есть линия нулевого потенциала – это ось ординат

Линии равного потенциала – это окружности с центрами на оси OX с координатами центра:
и радиусом:
Линии равного потенциала в системе двух заряженных проводов
Чтобы приращение потенциала при переходе от любой линии равного потенциала к соседней
оставалась постоянным, должно быть соблюдено условие:

Линии равной напряженности поля в системе двух заряженных проводов
Положив в выражении для функции потока C1=0, получим V=0 при
Линия напряженности поля является уравнением дуги окружности, пересекающейся
с проводами
Координаты центров окружностей:

Картина поля двух линейных проводов и реальной
линии передачи
Формулы для определения положения линейных проводов (электрических осей) , эквивалентным двум проводам круглого сечения
На рисунке заштрихованы сечения проводов около контуров сечений
- координата центра окружности равного потенциала