Теория зубчатых зацеплений. Понятия и элементы эвольвентного зацепления

Рассматривая элементы теории зубчатых зацеплений, обратимся к простой зубчатой передаче, состоящей из двух звеньев 1 и 2 в виде цилиндрических зубчатых колес, с вращательными кинематическими парами 01 и 02, которыми они связаны со стойкой, а также высшей парой Р, в которой и происходит соприкосновение звеньев.
Неподвижная точка Р лежащая на линии центров называется полюсом зацепления.
Согласно основному закону зацепления зубчатых профилей передаточное отношение такой передачи равно:
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Нормаль n-n, проведенная через полюс зацепления Р, образует линию зацепления – геометрическое место точек последовательного соприкосновения пары зубчатых профилей, принадлежащее неподвижной плоскости.
Выбираемый характер линии зацепления определяет собой геометрические формы сопряженных зубчатых профилей. В случае, если линия зацепления прямая, проходящая через полюс Р, то профили зубчатых колес получаются эвольвентными.
Такие зубчатые колеса являются наиболее распространенными.
Чем проще геометрическое очертание линии зацепления, тем проще вид или форма профиля зуба и технологический процесс его изготовления.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ЭЛЕМЕНТЫ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА
Образование эвольвенты
окружности можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА
Тогда эвольвента окружности представляет собой траекторию любой точки прямой, перекатываемой без скольжения по окружности, которую называют основной, при этом ее радиус обозначается rbi.
Прямую, которую перекатывают по окружности, называют производящей.
Эвольвенту называют правой, если она получена перекатыванием прямой по окружности по ходу часовой стрелки. В противном случае ее называют левой.

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Свойства эвольвенты:
1. Нормаль к эвольвенте касается основной окружности; точка касания является центром кривизны эвольвенты в заданной ее точке. Основная окружность (в математике ее называют эволюта) представляет собой геометрическое место центров кривизны эвольвенты.
2. Эвольвента начинается на основной окружности и всегда находится вне ее.
3. Форма эвольвенты зависит только от диаметра основной окружности.
4. Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Уравнения эвольвенты:
Положение произвольной точки Ay эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиуса-вектора OA0 (или OC0): длиной радиуса-вектора Ry и углом θy. Радиус-вектор Ry определим из прямоугольного треугольника OAyCy:

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Уравнения эвольвенты:
Для определения полярного угла θy сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:
При этом :
Выразим теперь противолежащий углу αy катет AyCy в ∆OAyCy:

ЭВОЛЬВЕНТА, ЕЕ УРАВНЕНИЯ И СВОЙСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Уравнения эвольвенты:
Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно , получаем
Угол называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, то есть inv, так что окончательно уравнение имеет вид:
θy = inv αy.

Картина зацепления эвольвентных колес
Рассмотрим некоторые элементы зацепления колес с эвольвентными профилями, которые присутствуют при их зацеплении и исчезают, если оно отсутствует.
Построение
картины эвольвентного зацепления зубчатых колес

КАРТИНА ЗАЦЕПЛЕНИЯ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ КОЛЕС (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
К ним относятся:
1. Межосевое расстояние аw - это кратчайшее расстояние между центрами колес O1 и O2;
2. Полюс зацепления - Р;
4. Теоретическая линия зацепления. На рисунке - это линия Н1Н2.
3. Начальные окружности - такие окружности являются условными. Они существуют только в зацеплении колес.
5. Часть ab линии зацепления, заключенная между точками пересечения окружностей вершин колес с линией зацепления, называется активной. Вне этого участка зубья в контакт не вступают. Длина активной линии зацепления обозначается gα.

6. Угол αw между нормалью к контактирующим поверхностям зубьев и общей касательной к начальным поверхностям (окружностям) называют углом зацепления.
7. Радиальный зазор с – расстояние между окружностью вершин одного зубчатого колеса и окружностью впадины другого зубчатого колеса.
При этом с* - коэффициент радиального зазора, в соответствии со стандартом с*=0,25.
КАРТИНА ЗАЦЕПЛЕНИЯ ЭВОЛЬВЕНТНЫХ КОЛЕС (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

МЕТОДЫ НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
В зависимости от способа формообразования различают два метода нарезания зубчатых колес: метод копирования и метод обката.
При нарезании колеса по методу копирования геометрия инструмента переносится (копируется) на заготовку. Инструмент – модульные дисковые или пальцевые фрезы. Для нарезания конкретного колеса, имеющего определенные модуль и число зубьев, требуется свой собственный инструмент. Однако на практике с целью сокращения номенклатуры инструмента применяют наборы фрез, что приводит к появлению погрешности формы зуба нарезаемого колеса и, как следствие, снижению качества передачи. Метод отличается высокой производительностью, но низкой точностью изготавливаемых колес.

МЕТОДЫ НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Схемы нарезания зубчатых колес модульными фрезами:
а – дисковая; в – пальцевая.
а
в

Для изготовления колес высокой точности используется метод обката. Профиль зуба колеса, нарезаемого по методу обката, формируется как огибающая ряда последовательных положений профиля зуба инструмента, в качестве которого применяют инструментальную рейку, долбяк, червячную фрезу. Метод позволяет нарезать одним и тем же инструментом колеса одного модуля, но с разными числами зубьев. Метод универсальный, обеспечивает высокую точность, но имеет низкую производительность.
МЕТОДЫ НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

а – нарезание зубчатого колеса долбяк-колесом.
в – нарезание зубчатого колеса червячной фрезой.
МЕТОДЫ НАРЕЗАНИЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ИСХОДНЫЙ И ИСХОДНЫЙ ПРОИЗВОДЯЩИЙ КОНТУРЫ
Форма главной поверхности зуба колеса определяется геометрией режущей кромки инструмента. Во всех развитых странах существует стандарт на геометрию режущего инструмента и, как следствие, колес и передач. Это обеспечивает взаимозаменяемость колес, стандартизацию зуборезного и мерительного инструмента, централизованное изготовление колес, как массовой продукции.
В основу стандарта на зубчатые колеса и передачи положен теоретический исходный контур.
Теоретический исходный контур – плоская фигура, геометрия которой определена стандартом - ГОСТ 13755-81 для колес с модулем m, равным или более 1 мм и ГОСТ 9587-81 для колес с

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ИСХОДНЫЙ И ИСХОДНЫЙ ПРОИЗВОДЯЩИЙ КОНТУРЫ
Основные параметры теоретического исходного контура :
Угол главного профиля α.
Коэффициент высоты головки зуба hа*.
Коэффициент граничной высоты hl*.
Коэффициент глубины захода зубьев в паре исходных контуров hw*.
Коэффициент радиуса кривизны переходной кривой ρf*.
Коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров c*.
Линия теоретического исходного контура, на которой ширина впадины равна толщине зуба, называется делительной прямой. Расстояние между одноименными точками соседних зубьев, измеренное параллельно делительной прямой, называется шагом (p) теоретического исходного контура.
Теоретический исходный контур имеет прямолинейный профиль в пределах граничной высоты зуба hl, равной
Прямая, параллельная делительной и проходящая через точку L, называется граничной.
Все линейные размеры теоретического исходного контура задаются в долях модуля (m).
.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ИСХОДНЫЙ И ИСХОДНЫЙ ПРОИЗВОДЯЩИЙ КОНТУРЫ
В соответствии со стандартом основные размеры теоретического исходного контура определяются по формулам:
Контур, геометрия которого совпадает с геометрией режущего инструмента реечного типа (гребенка), называется исходным производящим контуром.
Геометрия исходного производящего контура показана на рисунке. На нем видно, что геометрия инструментальной рейки отличается от геометрии теоретического исходного контура, а именно, высота головки зуба равна высоте его ножки. Объясняется это тем, что в станочном зацеплении головка зуба инструмента формирует ножку зуба колеса, а ножка - головку. Радиальный же зазор необходим для отвода стружки из зоны резания.