Упругие волны

Уравнение гармонической волны имеет вид
а — амплитуда волны , ω— циклическая (круговая) частота колебаний частиц среды (с-1).
− период колебаний
Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний - длина волны

Уравнение гармонической волны принято записывать в симметричном более удобном и простом виде.
k - волновое число ,
С учетом поглощения
уравнение волны имеет вид:

Уравнение плоской волны
В плоской волне волновые поверхности(где точки среды колеблются в одинаковой фазе) имеют вид плоскостей.
Если плоская волна распространяется вдоль оси X, то ее волновые поверхности (плоскости) перпендикулярные этой оси.
Если же плоская волна распространяется в произвольном направлении, характеризуемом единичным вектором п , то
α,β,γ — углы между вектором п и осями координат.

Для плоской гармонической волны
и

Сферическая волна.
В однородной изотропной среде продольная волна от точечного источника представляет собой сферически расходящееся возмущение вида
r— расстояние от точечного источника.
Если источник возбуждает продольные монохроматичес-кие колебания, то это уравнение принимает вид
Волновые поверхности являются сферическими.

Цилиндрическая волна
Цилиндрическая волна расходится от источников, равномерно распределенных вдоль оси в однородной среде.
Структура цилиндрической волны значительно сложнее сферической, и ее форма не повторяет временного поведения функции источника, как в случае сферической, — волна тянет за собой длинный «шлейф».
Монохроматическая расходящаяся волна на расстояниях R, значительно превышающих ее длину волны, имеет вид

Волновые уравнения
Для волновых процессов, существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида.
Для волн типа

— относительная деформация среды.
—проекция скорости частицы среды, движущейся около своего положения равновесия

Общее волновое уравнение
Это уравнение справедливо для волны любого направления, а также и для суперпозиции таких волн.
После дифференцирования выражения
по t и по х, получим

Это одномерное волновое уравнение 2-го порядка в частных производных. Ему удовлетворяют как возмущения вида
ξ(x,t) = f(t - x/υ) и ,
так и более общее решение
f1 и f2 — произвольные функции, соответствующие волнам, распространяющимся в противоположных направлениях оси X.

Для трехмерного случая волновое уравнение имеет вид
Одномерное волновое уравнение при наличии затухания
γ - коэффициент затухания волны.

Скорость упругих волн
1.Скорость волны в тонком стержне
При малых продольных деформациях стержня в стержне будет распространяться продольная волна , описываемая волновым уравнением
Сопоставляя полученное выражение с
скорость распространения волны υ
определяем

2.Скорость звука в жидкостях и газах
скорость звуковой волны в газе −
или
Скорость поперечных упругих волн в неограниченной изотропной твердой среде
G — модуль сдвига среды,
-плотность среды
ρ

Энергия упругой волны
Плотность потенциальной энергии упругой волны
Плотность полной энергии
Для тонкого стержня
и выражение для полной энергии
или

Для гармонической волны

Поток энергии −количество энергии, переносимое волной через поверхность S в единицу времени:
Плотность потока энергии - это поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:
dW — энергия, заключенная внутри косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной υ dt ,
υ — скорость переноса энергии (возмущения).

В случае монохроматической волны вектор j, как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поэтому среднее по времени значение вектора Умова

формула
справедлива для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др.
Зная вектор Умова, во всех точках поверхности S можно найти поток энергии сквозь эту поверхность.
− поток энергии равен потоку вектора j сквозь эту поверхность S.
Среднее по времени значение плотности потока энергии называется интенсивностью волны:

Для суперпозиции нескольких продольных волн
вектор Умова имеет вид:
— напряжение (или избыточное давление),
u — скорость частиц среды (не скорость волны!).

Стоячие волны
При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение.
Колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности.
Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Суперпозиция этих волн дает
уравнение стоячей волны
Амплитуда равна
и зависит от х. ξ2 = А cos (ωt + k x)
ξ1 = А cos (ωt - k x);
Волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющиеся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами, называются стоячими.

В точках, для которых
это максимумы амплитуды — пучности,
а где
— минимумы —узлы.
Интервалы между соседними пучностями или узлами равны половине длины волны

Передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы в стоячей волне не происходит.
Нет распространения возмущения среды вдоль оси X.
Поэтому возмущения, описываемые формулой,
Энергия стоячей волны
называют стоячей волной.

− скорости частиц
- относительные деформации
и
- стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на
.

Узлы и пучности скорости
частиц среды совпадают
с узлами и пучностями их смещения
Узлы и пучности деформации совпадают соответственно с пучностями и узлами смещения