algebra_logiki

Логика
Способность к развитому абстрактному мышлению, которая, формируется логикой, и есть то, что отделяет нас от животных. Термин “логика” происходит от греческого слова logos – то есть “мысль”, “разум”, “слово”.
Логика – это наука о формах и способах мышления. Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение.

Логика
Клод Шеннон (1916-2001). Его исследования позволили применить алгебру логики в вычислительной технике
Аристотель (384-322 до н.э.). Основоположник формальной логики (понятие, суждение, умозаключение).
Джордж Буль (1815-1864). Создал новую область науки - Математическую логику (Булеву алгебру или Алгебру высказываний).

Высказывание
Высказывание может быть истинным или ложным
Высказывание
Истинное (1)
Ложное (0)
Высказывание – предложение на любом языке, содержание которого можно однозначно определить как истинное или ложное.

Высказывание
В русском языке высказывания выражаются повествовательными предложениями:
Земля вращается вокруг Солнца.
Москва - столица.
Но не всякое повествовательное предложение является высказыванием
Побудительные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
Без стука не входить!
Откройте учебники.
Ты выучил стихотворение?

Примеры высказываний
Москва больше Санкт-Петербурга
Все мальчики любят играть в футбол
“Лед - твердое состояние воды” (истинное высказывание)
“Париж - столица Англии” (ложное высказывание)
“Все рыбы умеют плавать” (общее)
“Некоторые медведи - бурые” (частное)
“Буква А - гласная” (единичное)
“Кошка является домашним животным.” (?)
“Некоторые ученики нашего класса двоечники.” (?)
“Сейчас идет урок рисования” (?)

Высказывание
Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями.
1) Какого цвета этот дом?
2) Число Х не превосходит единицы.
3) 4Х +3.
4) Посмотрите в окно.
5) Пейте томатный сок!
6) Эта тема скучна.
7) Вы были в театре?

Высказывание или нет
Зимой идет дождь.
Снегири живут в Крыму.
Кто к нам пришел?
У треугольника 5 сторон.
Как пройти в библиотеку?
Переведите число в десятичную систему.
Запишите домашнее задание

Алгебра логики
Алгебра логики возникла в середине XIX века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, их логические значения (истинность или ложность) и логические операций над ними.

Алгебра логики
Алгебра логики позволяет определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание.
Любое простое высказывание может принимать значение 0 (ложь) или 1 (истина).
Простое высказывание называют логическими переменными и обозначают заглавной латинской буквой – А, В, С и т.д.

Простые и сложные высказывания
Высказывания могут быть простыми или сложными.
Сложные высказывания состоят из простых высказываний, соединенных логическими связками:
и
или
Неверно, что…
Если…, то…

В следующих высказываниях выделите простые высказывания, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв и знаков логических операций каждое составное высказывание.
1) Число 376 чётное и трёхзначное.
2) Зимой дети катаются на коньках или на лыжах.
3) Новый год мы встретим на даче или на Красной площади.
4) Неверно, что Солнце движется вокруг Земли.
5) Земля имеет форму шара, который из космоса кажется голубым.
6) На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя, а также писали самостоятельную работу.

Конъюнкция
Конъюнкция - логическое умножение (союз и), при котором составное высказывание истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
Таблица истинности
Обозначение
Графическое представление
A
B
А&В

Дизъюнкция
Дизъюнкция - логическое сложение (союз или), при котором составное высказывание ложно тогда, когда ложны все входящие в него простые высказывания.
Таблица истинности
Обозначение
Графическое представление
A
B
АVВ

Отрицание
Инверсия- (отрицание) делает истинное высказывание ложным, а ложное истинным.
Таблица истинности
Обозначение
Графическое представление
A
Ā

Импликация
Импликация - (логическое следование - если…, то…). Ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Таблица истинности

Порядок выполнения операций
Как и в алгебре порядок выполнения логических операций зависит от их приоритета. Действия в скобках имеют наивысший приоритет. Затем выполняется операция отрицания (если есть). После этого – операция логического умножения и лишь в конце вычислений операция сложения.
1. Отрицание выполняется первым
2. Вторым выполняется умножение
3. Сложение выполняется последним

Импликация
Преобразования по закону де Моргана

Даны два простых высказывания:
А = {2 • 2 = 4},
В = {2 • 2 = 5}.
Какие из высказываний истинны:
а) А; б) В; в) A ^ В; г) A v B ;
д) ¬A; ж) А ^ ¬В?
Задание

Задания
А = «Сейчас нет дождя»
В = «Форточка закрыта»
Составить сложные высказывания
A Λ B
A V B
A V B
A Λ B
A V B
Пусть А = «Ане нравятся уроки математики», а В = «Ане нравятся уроки химии». Выразите следующие формулы на обычном языке:

Построение таблиц истинности
подсчитать n - число переменных в выражении
подсчитать общее число логических операций в выражении
установить последовательность выполнения логических операций
определить число столбцов в таблице
заполнить шапку таблицы, включив в неё переменные и операции
определить число строк в таблице без шапки: m =2n
выписать наборы входных переменных
провести заполнение таблицы по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью

Решение задач
Составить таблицу истинности для формулы

Решение задач
Составить таблицу истинности для формулы