Анализ программы с подпрограммами

Анализ программы с подпрограммами
Что нужно знать.
Примеры заданий:
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Задания для тренировки.

Нужно знать, что:
Функция – это вспомогательный алгоритм, который возвращает некоторое значение –результат.
В Паскале функция располагается выше основной программы и оформляется следующим образом (вместо многоточия могут быть любые операторы):
function F(x: integer):integer;
begin
...
F:= <результат функции>
end;

function F(x: integer):integer;
begin
...
F:= <результат функции>
end;
В заголовке функции записывают имя функции, в скобках – список параметров, далее через двоеточие – тип возвращаемого значения; в приведенном примере функция F принимает один целый параметр, к которому внутри функции нужно обращаться по имени x, и возвращает целое число.

function F(x: integer):integer;
begin
...
F:= <результат функции>
end;
Результат функции записывается в специальную переменную, имя которой совпадает с именем функции; объявлять эту переменную не нужно.

Если параметров несколько, для каждого из них указывают тип:
function F(x: integer; y: integer):integer;
Если несколько соседних параметров имеют одинаковый тип, можно их объединить в список:
function F(x, y: integer):integer;

Следующая программа ищет наименьшее значение функции F(x) на отрезке [a,b], просматривая значения от a до b с шагом 1:
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
if F(t) < R then
begin
R:=F(t); M:=t;
end;

Цикл для поиска наибольшего значения выглядит точно так же, только знак < нужно заменить на знак >:
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
if F(t) > R then
begin
R:=F(t); M:=t;
end;

Если функция представляет собой квадратный трехчлен вида , то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле
Если квадратный трехчлен задан в виде
то абсцисса, соответствующая точке минимума, вычисляется по формуле
,

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Заметим, что в программе есть цикл, в котором переменная t принимает последовательно все целые значения в интервале
от a до b.
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
До начала цикла в переменную M записывается значение a, а в переменную R – значение функции в точке a.
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Внутри цикла есть условный оператор, в котором вычисляется значение функции F(t) и сравнивается со значением переменной R.
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Если новое значение функции меньше, чем значение R, в R записывается значение функции в точке t, а в переменной M запоминается само значение t (аргумент функции, соответствующий значению в R)
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Следовательно, цикл ищет минимум функции F(t) на интервале от a до b, и после выполнения цикла в переменной M оказывается значение аргумента t, при котором функция достигает минимума на заданном интервале
(здесь это интервал [-20, 20])
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение 1 (ручная прокрутка):
Функция F вычисляет значение
F:=4*(x-1)*(x-3)
Перебираем все значения t от a до b, и для каждого вычисляем соответствующее значение функции:
Пример 1.

F:=4*(t-1)*(t-3)
По таблице находим, что минимальное значение –4 достигается при t=2
Таким образом, ответ: 2.
Пример 1.

Рассмотрим решение 2
(математический анализ):

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Повторяя рассуждения из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
Запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:
Решение 2
(математический анализ):
Пример 1.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Повторяя рассуждения из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
Запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:
Решение 2
(математический анализ):
Пример 1.

График этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум.
Найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции:
Таким образом, ответ: 2.
Пример 1.
-20
20

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Повторяя рассуждения из предыдущего способа решения, находим, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале от a до b.
Заданная функция
имеет корни в точках
Решение 3
(свойства параболы):
Пример 1.

График этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум.
Парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, поэтому абсцисса вершины – это среднее арифметическое корней:
Таким образом, ответ: 2.
Пример 1.
1
3

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R : integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=x*x + 4*x + 8;
end;
BEGIN
a:=-10; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)> R) then
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Решение:
Рассуждая так же, как и в предыдущем примере, можно показать, что программа ищет наибольшее значение функции F(t) на интервале от a до b
Пример 2.

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R : integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=x*x + 4*x + 8;
end;
BEGIN
a:=-10; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)> R) then
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Решение:
Заметим, что выводится не абсцисса, а именно это найденное наибольшее значение функции!!!
Пример 2.

График этой функции – парабола, ветви которой направлены вверх, то есть она имеет точку минимума,
но не точку максимума!!!
Поэтому нужно проверить
значения функции на концах отрезка и выбрать из них наибольшее:
при t=-10 получаем F(t)=68
при t=10 получаем F(t)=148
Таким образом, ответ: 148.
-10
10
Пример 2.
148
68

Пример 3.
Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R : integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=0;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.

Пример 3.
Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R : integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=0;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение:
Рассуждая так же, как и в примере 1, определяем, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале
от a до b.

Пример 3.
Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R : integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=4*(x-1)*(x-3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=0;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do
begin
if (F(t)
begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Решение:
Рассуждая так же, как и в примере 1, определяем, что программа ищет значение t, при котором функция F(t) принимает минимальное значение на интервале
от a до b.
Запишем функцию в виде квадратного трёхчлена:

График этой функции – парабола, оси которой направлены вверх, поэтому функция имеет минимум.
Найдем абсциссу точки минимума, которая совпадает с абсциссой точки минимума функции:
-20
0
Пример 2.
Однако это значение не входит в интервал [-20; 0],
поэтому нужно проверить значения функции на концах отрезка и выбрать из них наименьшее; ответом будет соответствующее значение t.

-20
0
Пример 2.
При t=-20 получаем F(-20)=4*(-21)*(-23)=1932
При t=0 получаем F(0)= 4*(-1)*(-3)=12, это значение меньше, чем F(-20), поэтому минимум на заданном интервале достигается при t=0
Таким образом, ответ: 0.
1932
12

Задачи для тренировки:
Источники заданий:
Демонстрационные варианты ЕГЭ 2012-2013 гг.
Тренировочные работы МИОО.
Разработки К. Полякова

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer): integer;
begin
F:=4*(x-5)*(x+3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 1.
Ответ: 1

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=-(x+4)*(x+2);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 2.
Ответ: -3

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=3*(x-2)*(x+6);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 3.
Ответ: -48

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(5-x)*(x+3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 4.
Ответ: 16

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(x-5)*(x+3);
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 5.
Ответ: -5

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(x+5)*(x+3);
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 6.
Ответ: 80

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(x+7)*(1-x);
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 7.
Ответ: 5

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(x+5)*(1-x);
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 8.
Ответ: 5

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=(x+3)*(1-x);
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 9.
Ответ: -32

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:= 2*x*x + 8*x + 10;
end;
BEGIN
a:=-10; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 10.
Ответ: -2

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:= x*x + 6*x + 10;
end;
BEGIN
a:=-10; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)> R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 11.
Ответ: 10

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:= x*x - 8*x + 10;
end;
BEGIN
a:=-5; b:=5;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)> R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 12.
Ответ: 75

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:= x*x + 2*x + 10;
end;
BEGIN
a:=-10; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 13.
Ответ: -1

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=4*(x-5)*(x+3);
end;
BEGIN
a:=-20; b:=0;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 14.
Ответ: 0

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:= 2*x*x + 8*x + 10;
end;
BEGIN
a:=0; b:=10;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)< R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 15.
Ответ: 10

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
Var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F:=-(x+4)*(x+2);
end;
BEGIN
a:=-2; b:=20;
M:=a; R:=F(a);
for t:=a to b do begin
if (F(t)>R)then begin
M:=t;
R:=F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 16.
Ответ: -2

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := 2*(x-9)*(x-9)+12;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do
if (F(t)
M := t;
R := F(t);
end;
write(M);
END.
Пример 17.
Ответ: 9

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := 9*(x-15)*(x+17)+2;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do
if (F(t)
M := t;
R := F(t);
end;
write(M);
END.
Пример 18.
Ответ: -1

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := -3*(x-10)*(x+2)+2;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do
if (F(t)>R) then begin
M := t;
R := F(t);
end;
write(M);
END.
Пример 19.
Ответ: 4

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := 5*(x+10)*(x+2)+2;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do
if (F(t)
M := t;
R := F(t);
end;
write(M);
END.
Пример 20.
Ответ: -6

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := -2*(x+2)*(x-6);
end;
Begin
a := -11; b := 11;
M := a; R := F(a);
t:=a;
while t < b do
begin
if (F(t)>R) then
begin
M := t;
R := F(t);
end;
t:=t+2;
end;
write(R);
End.
Пример 21.
Ответ: 30

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := -2*(x+2)*(x-6);
end;
Begin
a := -11; b := 11;
M := a; R := F(a);
t:=a;
while t < b do
begin
if (F(t)>R) then
begin
M := t;
R := F(t);
end;
t:=t+2;
end;
write(M);
End.
Пример 22.
Ответ: 1

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := -2*(x+2)*(x-6);
end;
Begin
a := -11; b := 11;
M := a; R := F(a);
t:=a;
while t < b do
begin
if (F(t)>=R) then
begin
M := t;
R := F(t);
end;
t:=t+2;
end;
write(M);
End.
Пример 23.
Ответ: 3

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x:integer):integer;
begin
F := 3*(x-8)*(x-8)
end;
begin
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do begin
if (F(t)
M := t;
R := F(t)
end
end;
write(M);
end.
Пример 24.
Ответ: 8

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := 19*(16-x)*(16-x)+27;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do begin
if (F(t) < R) then begin
M := t;
R := F(t);
end;
end;
write(M);
END.
Пример 25.
Ответ: 16

Определите, какое число будет напечатано в результате выполнения следующего алгоритма:
var a,b,t,M,R :integer;
Function F(x: integer):integer;
begin
F := 19*(11-x)*(11-x)+27;
end;
BEGIN
a := -20; b := 20;
M := a; R := F(a);
for t := a to b do begin
if (F(t) < R) then begin
M := t;
R := F(t);
end;
end;
write(R);
END.
Пример 26.
Ответ: 27