Лекция 2.3

Процессор выполняет арифметические и логические операции над двоичными кодами. Поэтому для получения представления об устройстве компьютера, необходимо познакомиться с основными логическими элементами, лежащими в основе его построения. Для понимания принципа работы таких элементов начнем это знакомство с основных начальных понятий алгебры логики.

Логика — это наука о формах и способах мышления. Это учение о способах рассуждений и доказательств.
Понятие — это форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их от других.
Пример
Прямоугольник, проливной дождь, компьютер – это понятия.

Высказывание — это формулировка своего понимания окружающего мира. Высказывание является повествовательным предложением, в котором что-либо утверждается или отрицается.
Истинным будет высказывание, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей.
Ложным высказывание будет в том случае, когда оно противоречит реальной действительности.

Пример
«Буква «а» — гласная» - истинное высказывание.
«Компьютер был изобретён в середине 19 века» - ложное высказывание.

Задание. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность.
1. Какой длины эта лента?
(не является высказыванием)
2. Делайте утреннюю зарядку!
(не является высказыванием)
Париж — столица Англии.
(является ложным высказыванием)
Число 11 является простым.
(является истинным высказыванием)
4 + 5 = 10
(является ложным высказыванием)
6. Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
(является истинным высказыванием)
Некоторые медведи живут на севере.
(является истинным высказыванием)
8. Все медведи — бурые.
(является ложным высказыванием)

Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение (знание или вывод).
Пример
Дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получите высказывание «Этот треугольник равносторонний» путём умозаключений.

Логические выражения и операции
Алгебра логики — это наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются над высказываниями.

Логическая переменная — это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Её символическое обозначение — латинская буква (например, A, B, X, Y и т. д.)
Составное высказывание — логическая функция, которая содержит несколько простых мыслей, соединённых между собой с помощью логических операций. Её символическое обозначение — F(A, B,…).
На основе простых высказываний могут быть построены составные высказывания.

Логические операции — логическое действие.
Таблица истинности — таблица, определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний.
Рассмотрим три базовые логические операции — конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание и дополнительные — импликацию и эквиваленцию.

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится логическое выражение, значение которого можно вычислить.
Значением логического выражения могут быть только ЛОЖЬ или ИСТИНА.
При составлении логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций, а именно:
действия в скобках;
инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция.

Пример
Запишите в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдёт на рыбалку».
Проанализируем составное высказывание.
Оно состоит из следующих простых высказываний: «Петя поедет в деревню», «Будет хорошая погода», «Он пойдёт на рыбалку». Обозначим их через логические переменные:
А = Петя поедет в деревню;
В = Будет хорошая погода;
С = Он пойдёт на рыбалку.
Запишем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий. Если необходимо, расставим скобки:
F = A & (B → C).

Задание. Составьте и запишите истинные сложные высказывания из простых с использованием логических операций.
Неверно, что 10 > Y > 5 и Z < 0
(¬ (Y<10)&(Y>5)&(Z<0))
А является max(A,B,C)
(A>B)&(A>C)
Любое из чисел X,Y,Z положительно
(X>0)∨(Y>0)∨(Z>0)
Любое из чисел X,Y,Z отрицательно
(X<0)∨(Y<0)∨(Z<0)
Все числа X,Y,Z равны 12
(X=12)&(Y=12)&(Z=12)

Найдите значения логических выражений:
F = (0 ٧ 0 ) ٧ (1 ٧ 1)
(Ответ: 1)
F = (1 ٧ 1 ) ٧ (1 ٧ 0)
(Ответ: 1)
F = (0 & 0 ) & (1 & 1)
(Ответ: 0)
F = ¬ 1 & (1 ٧ 1 ) ٧ (¬ 0 & 1)
(Ответ: 1)
F = (¬ 1٧ 1 ) & (1 ٧ ¬ 1 ) & (¬ 1 ٧ 0)
(Ответ: 0)