Логические основы компьютеров

Логические основы компьютеров
§ 18. Логика и компьютер

Логика, высказывания
Логика (др.греч. λογικος) – это наука о том, как правильно рассуждать, делать выводы, доказывать утверждения.
Формальная логика отвлекается от конкретного содержания, изучает только истинность и ложность высказываний.
Логическое высказывание – это повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Высказывание или нет?
Сейчас идет дождь.
Жирафы летят на север.
История – интересный предмет.
У квадрата – 10 сторон и все разные.
Красиво!
В городе N живут 2 миллиона человек.
Который час?

Логика и компьютер
Двоичное кодирование – все виды информации кодируются с помощью 0 и 1.
Задача – разработать оптимальные правила обработки таких данных.
Почему «логика»?
Результат выполнения операции можно представить как истинность (1) или ложность (0) некоторого высказывания.
Джордж Буль разработал основы алгебры,
в которой используются только 0 и 1
(алгебра логики, булева алгебра).

Логические основы компьютеров
§ 19. Логические операции

Обозначение высказываний
A – Сейчас идет дождь.
B – Форточка открыта.
простые высказывания (элементарные)
Составные высказывания строятся из простых с помощью логических связок (операций) «и», «или», «не», «если … то», «тогда и только тогда» и др.
A и B
A или не B
если A, то B
A тогда и только
тогда, когда B
Сейчас идет дождь и открыта форточка.
Сейчас идет дождь или форточка закрыта.
Если сейчас идет дождь, то форточка открыта.
Дождь идет тогда и только тогда, когда открыта форточка.

Операция НЕ (инверсия)
Если высказывание A истинно, то «не А» ложно, и наоборот.
1
0
0
1
таблица истинности операции НЕ
также , ,
not A (Паскаль),
! A (Си)
Таблица истинности логического выражения Х – это таблица, где в левой части записываются все возможные комбинации значений исходных данных, а в правой – значение выражения Х для каждой комбинации.

Операция И
Высказывание «A и B» истинно тогда и только тогда, когда А и B истинны одновременно.
A и B
A
B

Операция И (логическое умножение, конъюнкция)
1
0
также: A·B, A ∧ B,
A and B (Паскаль), A && B (Си)
0
0
конъюнкция – от лат. conjunctio — соединение
A ∧ B

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
Высказывание «A или B» истинно тогда, когда истинно А или B, или оба вместе.
A или B
A
B

Операция ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция)
1
0
также: A+B, A ∨ B,
A or B (Паскаль), A || B (Си)
1
1
дизъюнкция – от лат. disjunctio — разъединение

Операция «исключающее ИЛИ»
Высказывание «A ⊕ B» истинно тогда, когда истинно А или B, но не оба одновременно (то есть A ≠ B).
«Либо пан, либо пропал».
0
0
также:
A xor B (Паскаль),
A ^ B (Си)
1
1
сложение по модулю 2: А ⊕ B = (A + B) mod 2
арифметическое сложение, 1+1=2
остаток

Свойства операции «исключающее ИЛИ»
A ⊕ A =
(A ⊕ B) ⊕ B = A ⊕ 0 =
A ⊕ 1 =
A
0
?

Импликация («если …, то …»)
Высказывание «A → B» истинно, если не исключено, что из А следует B.
A – «Работник хорошо работает».
B – «У работника хорошая зарплата».
1
1
1
0

Импликация («если …, то …»)
«Если Вася идет гулять, то Маша сидит дома». A – «Вася идет гулять».
B – «Маша сидит дома».
Маша может пойти гулять
(B=0), а может и не пойти (B=1)!

Эквивалентность («тогда и только тогда, …»)
Высказывание «A ↔ B» истинно тогда и только тогда, когда А и B равны.

Базовый набор операций
С помощью операций И, ИЛИ и НЕ можно реализовать любую логическую операцию.

Вычисление логических выражений
Порядок вычислений:
скобки
НЕ
И
ИЛИ, исключающее ИЛИ
импликация
эквивалентность
A
B
+
∙
+
B
C
∙
A
С
∙
1 4 2 5 3

Составление таблиц истинности
Логические выражения могут быть:
тождественно истинными (всегда 1, тавтология)
тождественно ложными (всегда 0, противоречие)
вычислимыми (зависят от исходных данных)

Составление таблиц истинности

Диаграммы Венна (круги Эйлера)
A·B
A+B
A⊕B
A→B
A↔B

Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции ⊕→↔ на их выражения через И, ИЛИ и НЕ:
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана:
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключения третьего.

Упрощение логических выражений
раскрыли →
формула де Моргана
распределительный
исключения третьего
повторения
поглощения

Логические элементы компьютера
НЕ
И
ИЛИ
ИЛИ-НЕ
И-НЕ
значок инверсии

Логические элементы компьютера
Любое логическое выражение можно реализовать на элементах И-НЕ или ИЛИ-НЕ.
И:
НЕ:
ИЛИ:

Составление схем
последняя операция - ИЛИ
&
И

Конец фильма
ПОЛЯКОВ Константин Юрьевич
д.т.н., учитель информатики
ГБОУ СОШ № 163, г. Санкт-Петербург
[e-mail]
ЕРЕМИН Евгений Александрович
к.ф.-м.н., доцент кафедры мультимедийной дидактики и ИТО ПГГПУ, г. Пермь
[e-mail]