Общие теоретические вопросы. Оптимизация – общая постановка задачи. Целевая функция, система ограничений

Понятие оптимизации
Оптимизация - целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях. Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:
- количество продукции - расход сырья"
-количество продукции - качество продукции"

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи. При постановке задачи оптимизации необходимо:
Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.
Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями.
Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
Учет ограничений.

Модель задачи математического программирования включает:
совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.

Стандартная математическая задача оптимизации формулируется таким образом:

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Задача линейного программирования. Постановка задачи

Линейное программирование
Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные.

Постановка задачи

ОБЩИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
Графическое решение задачи линейного программирования. Пример

Пусть дана задача

Геометрическая интерпретация элементов задачи

Геометрическая интерпретация целевой функции

Порядок решения ЗЛП графическим методом:

Пример

РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Задача 1

Дано словесное описание задачи. Привести ее табличное и математическое описание: целевая функция, система ограничений.
Завод выпускает два вида строительных материалов: жидкое стекло и пенопласт. Трудозатраты на производство 1 т. стекла – 20 ч., пенопласта – 10ч. На заводе работает 10 рабочих по 40 часов в неделю. Оборудование позволяет производить не более 15 т. стекла и 30 т. пенопласта в неделю. Прибыль от реализации 1 т. стекла – 50 руб., 1 т. пенопласта – 40 руб.
Сколько материалов каждого вида необходимо произвести для того, чтобы получить максимальную прибыль.

Табличное описание задачи

Математическое описание задачи

РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Задача 2

Дано словесное описание задачи. Привести ее табличное и математическое описание: целевая функция, система ограничений.
Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Запас сырья составляет 120 т. , трудозатрат – 400 часов. На единицу первого продукта необходимо затратить 3 т. сырья, на единицу второго – 5 т. На единицу первого продукта тратится 14 ч.. второго – 12 ч. Прибыль от реализации единицы первого продукта равна 30тыс./т., второго продукта – 35 тыс./т.
Чему равна максимальная прибыль.

Табличное описание задачи

Математическое описание задачи

РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Задача 3

Дано словесное описание задачи. Привести ее табличное и математическое описание: целевая функция, система ограничений.

Табличное описание задачи