Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

2
При нулевой гипотезе предполагается, что коэффициент является определенным значением. А согласно альтернативной гипотезе, коэффициентом может быть любое значение, отличное от указанного в нулевой гипотезе. Это значение может быть больше или меньше.
Нулевая гипотеза
Альтернативная гипотеза
T статистика
Отвергается H0 если
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
Истинная модель Подогнанная модель

3
Однако иногда мы можем сказать,что если нулевая гипотеза не верна, то коэффициент не может быть меньше указанного. Мы переписываем нулевую гипотезу, как показано, и выполняем односторонний тест.
Нулевая гипотеза
Альтернативная гипотеза
T статистика
Отвергается H0 если
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
Истинная модель Подогнанная модель

4
В других случаях мы могли бы утверждать, что, если нулевая гипотеза не верна, то коэффициент не может быть больше указанного значения. Показана модифицированная нулевая гипотеза для этого случая.
Нулевая гипотеза
Альтернативная гипотеза
T статистика
Отвергается H0 если
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
Истинная модель Подогнанная модель

5
Теория, лежащая в основе односторонних тестов, в частности, выигрыш в компромиссе между размером (уровнем значимости) и мощностью теста, является нетривиальной, и понимание требует тщательного изучения раздела R. 13
Нулевая гипотеза
Альтернативная гипотеза
T статистика
Отвергается H0 если
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
Истинная модель Подогнанная модель

6
Эта последовательность предполагает хорошее понимание этого материала.
Нулевая гипотеза
Альтернативная гипотеза
T статистика
Отвергается H0 если
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии
Истинная модель Подогнанная модель

7
Возвращаясь к модели инфляции цен / заработной платы, мы увидели, что не можем отвергнуть нулевую гипотезу b2 = 1, даже на уровне значимости 5%. Это был двусторонний тест.
Пример: p = β1 + β2w + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 1.0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 1.0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

8
Однако на практике повышение производительности может привести к тому, что темпы инфляции издержек и, следовательно, инфляции цен будут ниже темпов инфляции заработной платы.
Пример: p = β1 + β2w + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 1.0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 1.0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

9
Конечно, повышение производительности труда не приведет к тому, что инфляция цен превысит инфляцию заработной платы, и поэтому в этом случае мы обоснованно исключаем b2 > 1. Мы остаемся с H0: b2 = 1 и H1: b2 < 1.
Пример: p = β1 + β2w + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 1.0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 1.0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

10
Таким образом, мы можем выполнить односторонний тест, для которого критическое значение t с 18 степенями свободы на уровне значимости 5% равно 1,73. Теперь мы можем отвергнуть нулевую гипотезу и сделать вывод, что инфляция цен значительно ниже инфляции заработной платы, на уровне значимости 5%.
Пример: p = β1 + β2w + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 1.0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 1.0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

11
Теперь рассмотрим особый, но очень распространенный случай H0: b2 = 0.
Модель Y = β1 + β2X + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

12
Это происходит, когда вы хотите продемонстрировать, что переменная X влияет на другую переменную Y. Устанавливается нулевая гипотеза о том, что X не влияет на Y (b2 = 0) и пытаетесь отклонить H0.
Модель Y = β1 + β2X + u
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

13
плотность вероятности
функция b2
На рисунке показано распределение b2 при условии, что h0: b2 = 0 истинно. Для простоты мы изначально предполагаем, что знаем стандартное отклонение.
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 0
0
отвергается H0
отвергается H0
принимается H0
1.96 sd
–1.96 sd
2.5%
2.5%
b2
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

14
плотность вероятности
функция b2
Если вы используете двусторонний тест значимости 5%, Ваша оценка должна быть 1,96 стандартных отклонений выше или ниже 0, Если вы хотите отклонить H0.
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 ≠ 0
0
отвергается H0
отвергается H0
принимается H0
1.96 sd
–1.96 sd
2.5%
2.5%
b2
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

15
плотность вероятности
функция b2
Однако, если вы можете обосновать использование одностороннего теста, например, с H0: b2 > 0, ваша оценка должна быть 1,65 стандартных отклонений выше 0.
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

16
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
Это упрощает отклонение H0 и тем самым демонстрирует, что Y действительно зависит от X (при условии, что ваша модель указана правильно).
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

17
плотность вероятности
функция b2
Предположим, что Y действительно определяется X и что истинный (неизвестный) коэффициент равен b2, как показано на рисунке.
ONE-SIDED t TESTS OF HYPOTHESES RELATING TO REGRESSION COEFFICIENTS
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0

18
плотность вероятности
функция b2
Предположим, что мы имеем выборку наблюдений и вычислить расчетный коэффициент наклона, В2. Если это так, как показано на графике, что мы заключаем, когда тестируем H0?
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

19
плотность вероятности
функция b2
Ответ заключается в том, что b2 лежит в области отклонения. Не имеет значения, проводим ли мы двусторонний или односторонний тест. Мы пришли к правильному выводу.
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

20
плотность вероятности
функция b2
Что мы делаем, если b2, как на графике? Мы не отвергаем Н0, независимо от того, мы выполняем двусторонний тест или нет. В любом случае мы допустим ошибку типа II.
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

21
плотность вероятности
функция b2
Что мы делаем, если b2, как показано здесь? В случае двухстороннего испытания b2 не находится в области отклонения. Мы не можем отказаться от H0.
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

22
плотность вероятности
функция b2
Это значит, что мы не можем доказать, что X существенно влияет на Y. Это не дает желаемого результата, потому что мы надеялись показать, что X является определяющим для Y.
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

23
плотность вероятности
функция b2
Однако, если мы в состоянии выполнить односторонний тест, b2 лежит в области отклонения, и поэтому мы продемонстрировали, что X оказывает значительное влияние на Y (на уровне значимости 5%).
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

24
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
Таким образом, мы получаем положительный результат, который мы не могли получить при двустороннем тесте.
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

25
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
β2
Если говорить более формально, то сила одностороннего теста больше, чем у двустороннего. Синяя область показывает вероятность совершения ошибки типа II с помощью двухстороннего теста. Это область под истинной кривой слева от области отклонения.
2.5%
1.96 sd
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

26
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
β2
Красная область показывает вероятность совершения ошибки типа II с помощью одностороннего теста. Он меньше, поскольку сила испытания (1-вероятность совершения ошибки типа II, когда H0 ложен), сила одностороннего испытания больше, чем у двустороннего испытания.
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

Мы предположили, что знаем стандартное отклонение распределения b2. На практике, конечно, стандартное отклонение должно оцениваться как стандартная ошибка, а распределение t является соответствующим распределением. Однако, логика точно такая же.
27
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии

При любом заданном уровне значимости критическое значение t для одностороннего испытания ниже, чем для двустороннего испытания.
28
плотность вероятности
функция b2
0
отвергается H0
принимается H0
1.65 sd
5%
b2
Нулевая гипотеза: H0: β2 = 0
Альтернативная гипотеза: H1: β2 > 0
Односторонние T-тесты гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии