Основы логики

Историческая справка
(1815 -1864)
Английский математик Джордж Буль
разработал основы алгебры, в которой используются только 0 и 1
(алгебра логики, булева алгебра).

Алгебра логики – это математический
аппарат, с помощью которого
записывают (кодируют), упрощают,
вычисляют и преобразовывают
логические высказывания.
Логика – это наука о способах и формах
мышления.

Формы мышления
1. Понятие.
2. Высказывание.
3. Умозаключение.
Понятие – форма мышления,
фиксирующая основные,
существенные признаки объекта.

Высказывание – повествовательное
предложение, о котором можно
сказать, истинно оно или ложно.
Умозаключение – это форма мышления,
с помощью которой из одного или
нескольких суждений может быть
получено новое суждение.

Высказывание
Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.
Высказывания могут быть выражены с помощью естественных и формальных языков.
Высказывания могут быть выражены только повествовательным предложением.
Высказывания могут быть простыми и составными.
Истинность простых высказываний определяется на основании здравого смысла.
Истинность составных высказываний определяется с помощью алгебры высказываний.

Логические операции
Логическое умножение
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и» («а», «но») называется операцией логического умножения или конъюнкцией.
Правило истинности
Составное высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции), истинно тогда и только тогда, когда истинны входящие в него простые высказывания.

Алгебра высказываний
Логическое умножение
(конъюнкция,
операция “и”).
sign: Λ
Истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые высказывания.
0
0
0
1

Алгебра высказываний
Логическое сложение
(дизъюнкция,
операция “или”).
sign: v
Истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых высказываний.
1
1
1
0

Алгебра высказываний
Логическое отрицание
(инверсия,
операция “не”).
sign:
Инверсия делает
истинное высказывание
ложным и ,наоборот,
ложное – истинным.
1
0

Алгебра высказываний
Логическое следование
(импликация,
если…, то…)
sign: →
Составное высказывание,
образованное с
помощью импликации
ложно тогда и только
тогда, когда из истинного
высказывания следует
ложное.
1
1
0
1

Алгебра высказываний
Логическое равенство
(эквивалентность,
“… тогда и только тогда,
когда…”); sign: ↔
Составное высказывание,
образованное с помощью
эквивалентности
истинно тогда и только
тогда, когда оба
высказывания
одновременно либо
ложны, либо истинны.
1
0
0
1