Пропозициональная логика 1

Пропозициональная логика - это раздел фрагмент логики, в котором новые операторы строятся из заданных операторов, используя логические связки, такие как «нет» «или» «и». Значение истинности такого утверждения затем полностью определяется наборами значений истинности переменных, входящих в него.
Логические связки есть описание простых логических операций в логике высказываний. В логике высказываний применяют следующие основные логические связки: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, неравнозначность, стрелка Пирса, штрих Шеффера

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, про которое известно, что оно или истинно, или ложно.
Вопросительные, повелительные и бессмысленные предложения не являются логическими высказываниями.
Противоречивые предложения также не являются логическими высказываниями

Например:
Слоны летят на север. - Ложное высказывание.
Треугольник - это геометрическая фигура. - Истинное высказывание
Число 8 не делится на 4. - Ложное высказывание.
Посмотрите на потолок. –
Не высказывание.

Высказывание считается простым, если никакую его часть нельзя рассматривать как отдельное высказывание
Высказывание, которое можно разложить на части называется сложным (составным).

В математической логике высказывания обозначают большими латинскими буквами.
Например:
А = Новосибирск – не столица России.
С = Все растения не ядовиты.

Простые высказывания называются
логическими переменными
Например:
А = «Луна является спутником Земли.» → А = 1
В = «Москва – столица Гималаев.»
→ В = 0
Любое высказывание может быть ложно (0 или ⊥) или истинно (1 или Т).

Сложные высказывания называются логическими формулами или логическими функциями,
Значение логической функции может принимать значения только 0 или 1.

Составные (сложные) высказывания строятся из простых с помощью логических связок:
"и« ∧,
"или« ∨,
"не", ¬
«если …, то…»,→
«…тогда и только тогда, когда…»⊕
и др.~≡↔⊃≠⊥↓⏐
Например

I. ОПЕРАЦИЯ –
ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «и» называется
операцией логического умножения или конъюнкцией
В алгебре логики конъюнкция обозначается значком «&» либо «Λ»

Высказывание вида A & B (А конъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда
истинны оба высказывания и А и B
Таблица истинности для А & В

II. ОПЕРАЦИЯ –
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ
Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно при помощи союза «или» называется операцией логического сложения или дизъюнкцией
В алгебре логики дизъюнкция обозначается значком «V» либо «+»

Высказывание вида A V B (А дизъюнкция B ) истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых (элементарных) высказываний
Союз «или» употребляется в неисключающих друг друга случаях.
Таблица истинности для А V В

III. ОПЕРАЦИЯ –
ЛОГИЧЕСКОЕ ОТРИЦАНИЕ
Присоединение частицы «не» к высказыванию называется операцией логического отрицания или инверсией
В алгебре логики инверсия обозначается значком « ¬ » либо чертой над высказыванием «Ā»
Рассмотренные выше операции были двуместные, т.е. выполнялись над двумя высказываниями. В алгебре логики широко применяется и одноместная операция – операция отрицание.

Высказывание вида Ā (инверсия А) делает истинное высказывание ложным и , наоборот, ложное - истинным
Например
Таблица истинности для Ā

IV. ОПЕРАЦИЯ –
ЛОГИЧЕСКОЕ СЛЕДОВАНИЕ
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «если …, то …» называется
операцией логического следования или импликация
В алгебре логики импликация обозначается значком « → » или ⊃

Высказывание вида A → B (А импликация B ) ложно тогда и только тогда,
когда А – истинно, а B – ложно (т.е. из истинного высказывания следует ложное)
Таблица истинности для А → В

V. ОПЕРАЦИЯ –
ЛОГИЧЕСКОЕ РАВЕНСТВО
Объединение двух высказываний с помощью оборота речи «…тогда и только тогда, когда …»
называется операцией логического равенства или эквивалентность
В алгебре логики высказываний эквивалентность обозначается значком « ↔ » или ~
Эквивалентность формул в алгебре логики обозначается знаком тождественного равенства ≡ и знаком ~.
Символ ~ является символом формального языка, с помощью которого строятся формулы. Символ ≡ обозначает отношение на множестве формул

Высказывание вида A ↔ B
(А эквивалентность B) истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны
Таблица истинности для А ↔ В

VI. ОПЕРАЦИЯ –
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ «ИЛИ»
Неравнозначностью двух высказываний A и B называется высказывание, истинное, когда истинностные значения A и B не совпадают, и ложное — в противном случае. Обозначается A⊕ B
Таблица истинности для A⊕ B

VII. ОПЕРАЦИЯ –
ШТРИХ ШЕФФЕРА
Логическая операция А|В, которая ложна, когда оба выражения - истина. Таблица истинности для Штриха Шеффера имеет вид

VI. ОПЕРАЦИЯ –
СТРЕЛКА ПИРСА
Логическая операция А↓В, которая ложна, когда истинно хотя бы одно из выражений. Таблица истинности для стрелки Пирса имеет вид:
Таблица истинности для A↓ B

Применяя логические операции, можно построить и решить логические выражения или логические формулы:
Для построения простые логические высказывания обозначают как логические переменные – буквами;
Связывают их с помощью знаков логических операций.
Если сопоставить логическому выражению некую функцию F, то такая запись называется логической формулой.

Например:
Для определения значения логической функции
необходимо помнить
порядок выполнения логических операций по иерархии
Такая запись позволяет определить значение логической функции для любого набора значений логических переменных.

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:
1. ( )
2. ¬,
3. &, |, ↓
4. ∨,
5. ⊕, ~
.

Для построения таблицы истинности любой логической функции
следует соблюдать:
1. определить кол-во строк таблицы – 2n , где n = кол-ву логических переменных; Для двух переменных 4 строки, для трех 8.
2. определить кол-во столбцов таблицы- оно равно кол-ву логических переменных + кол-во логических операций;

Для построения таблицы истинности любой логической функции
следует соблюдать:
3. построить таблицу истинности с найденным кол-вом строк и столбцов + строка с названием столбцов;
4. заполнить столбцы таблицы, выполняя логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности.

Количество входных переменных равно трем (X,Y,Z), а значит строк
Q= 23 = 8 +1 =9 (заголовки столбцов).
2. Количество столбцов равно 6
(3 переменные + 3 операции).
Вернёмся к нашему примеру:

ОПРЕДЕЛИМ ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Математическая логика -
решение задач

1)F= (0 \/ 0) \/ (1 \/ 1)
2)F= (1 \/ 1) \/ (1 \/ 0)
3)F= (0 Λ 0) Λ (1 Λ 1)
4)F= ¬1 \/ (1 Λ 1) Λ (¬0 Λ 1)
Найти значения логических формул
на заданных логических значениях:

1)F= (0 \/ 0) \/ (1 \/ 1)
2)F= (1 \/ 1) \/ (1 \/ 0)
3)F= (0 Λ 0) Λ (1 Λ 1)
4)F= ¬1 \/ (1 Λ 1) Λ (¬0 Λ 1)
Найти значения логических формул
на заданных логических значениях:
0
1
1
1
1
1
0
1
1

1)F= (0 \/ 0) \/ (1 \/ 1)
2)F= (1 \/ 1) \/ (1 \/ 0)
3)F= (0 Λ 0) Λ (1 Λ 1)
4)F= ¬1 \/ (1 Λ 1) Λ (¬0 Λ 1)
Найдём значения логических выражений:
0
1
1
1
1
1
0
1
1
Ответ: 1
Ответ: 1
Ответ: 0
Ответ: 1

Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание ¬((X > 3) → (X > 4))
Решение:
В записи логического высказывания стоит отрицание сложного высказывания.
Если ¬((X > 3) –> (X > 4)) = 1 (истинно),
то (X > 3) –> (X > 4) = 0 (ложно)
1) 1 2)2 3) 3 4) 4